Давайте я закончу этот рассказ — посмотрим, как именно система уравнений небесной механики может "ломаться" без того, чтобы какие-то два (точечных) тела сталкивались. Для начала — а как вообще такое может происходить?

Пусть у нас есть конечное число материальных точек, которые друг с другом взаимодействуют по закону всемирного тяготения: сила, с которой взаимодействуют две частицы, равна
G m_1 m_2 / r_{12}^2.
Механика классическая, никакой теории относительности (и это важно).

Естественно, есть закон сохранения энергии. Если в какой-то момент у нас все расстояния между частицами не меньше какого-то \eps, а мы знаем полную энергию системы — то это даёт ограничение сверху на кинетическую энергию и потому на скорости частиц, а значит, ограничение снизу на время, в течение которого дифференциальное уравнение "точно не сломается".

Поэтому если система в какой-то момент t_* ломается, то наименьшее расстояние между частицами r_{min}(t) должно в этот момент стремиться к 0.

Но если особенность (т. е. то, как "ломается" решение) не типа столкновения (то есть не такого типа, что у всех частиц есть в этот момент предел, просто у каких-то частиц он совпадает), то у какой-то частицы в этот момент предела быть не должно. Значит, её скорость должна устремиться к бесконечности — а она должна начать "метаться" всё сильнее и сильнее ("как sin(1/x)").

Более того. Как показал в работе ещё 1908 года фон Цейпель (von Zeipel), если особенность не типа столкновения — то "линейный размер" системы (например, максимальное расстояние от точек до центра масс) должен в этот момент устремиться к бесконечности!

Наконец, когда мы приближаемся к моменту особенности — сила, с которой взаимодействуют далеко друг от друга отстоящие тела, на этом (очень маленьком) масштабе времени почти не влияет на их траектории. Так что мы практически смотрим на тела или их почти слипшиеся кластеры, которые могут двигаться только почти по прямым и как-то друг с другом "почти сталкиваться (и разлетаться)".

И — да полноте, а можно ли в такой ситуации обеспечить беготню (хотя бы) одного тела взад-вперёд, которая ещё и должна какие-то тела выбросить на бесконечность за конечное время?