Математикотики

З колом та еліпсом вийде дещо складніше — там доведеться говорити про неявні функції, але про них іншим разом. А особливо нетерплячих запрошуємо записатися на курс, там з належним ентузіазмом розповідаємо, зокрема, про функції та в міру детально обговорюємо їхню роль у сучасній прикладній математиці.

Залишайте свої контактні дані у гугл-формі і ми якнайшвидше зв'яжемося з вами.

І, власне, цільова тема цього допису: не обов'язково і не завжди координати точок кривої залежать одне від одного. Прикладом такої лінії може бути траєкторія руху деякого тіла. Його координати в цьому випадку самі будуть функціями, що залежатимуть від іншої величини (наприклад, від часу). У такому разі кажуть, що крива задана параметрично.

Не завжди ці два підходи є взаємовиключними. Наприклад, функцію
y = sin(√x)
можна рівноцінно замінити системою функцій
x(t) = t²,
y(t) = sin(t).

Нижче подано графік цієї функції у явному вигляді (помаранчевий) та в параметричному (чорний). Множина значень t зростає від [0; 0] до [0; 3.5].

Ми у попередньому пості розповіли вам про криві та їх практичну користь, але найголовнішого не сказали — як такі криві описувати математично?

Відповідь — за допомогою функцій!
Для тих, хто підзабув — функцією називають залежність однієї величини від іншої, наприклад, кількості риб у ставку від об'єму водоростей у ньому; рівня задоволення населення від середньої заробітної плати.

Часто такі функції зручно зображати у вигляді кривої лінії. Робиться це так: обчислюємо значення функції f(x) для випадкового х та розміщуємо точку з координатами (x; f(x)) на площині — і так допоки отримані точки не почнуть вилаштовуватися у більш-менш зрозумілий візерунок. Такі криві називаються заданими явно.
Прикладом може слугувати парабола з попереднього посту — вона задається рівнянням f(x)=x².

Однак криві — це не лише геометричні фігури, а й потужний інструмент для моделювання процесів та обробки сигналів. У цифровій обробці звуку чи зображень ми часто стикаємося з такими поняттями, як криві Безьє або сплайни. Вони дозволяють плавно інтерполювати дані, створювати складні форми або згладжувати графіки. Наприклад, криві Безьє використовуються в комп'ютерній графіці для створення шрифтів, а сплайни допомагають моделювати траєкторії руху в анімації чи аналізувати дані в біоінформатиці.

Врешті, від моделювання біологічних процесів і сигналів серця до дизайну автомобілів чи створення шедеврів цифрового мистецтва — криві є всюди. Це ще раз доводить, що математика об'єднує науку й мистецтво, перетворюючи абстрактні концепти на реальні інструменти змін. Тож варто лише подивитися на криві під іншим кутом — і ви побачите їхню справжню красу та силу.

Парабола має ще багато корисних властивостей, всі з яких не влізуть в один допис, тож про неї — іншим разом. Натомість простішим за параболу здається коло, але от застосувань у нього завдяки цій простоті побільше — від колес та шестерень до радарів та GPS. Певно, ви й самі можете придумати декілька — дуже вже ця фігура розповсюджена та близька нам.

А от орбіти планет є, взагалі кажучи, не колами, як ви, можливо, звикли малювати в дитинстві, а еліпсами. Насправді еліпс — крива не менш корисна за коло, хоча б тому, що дуже часто кола, особливо на великих масштабах, як от ті ж орбіти, наприклад, чи галактичні ореоли, на практиці часто витягуються і набувають еліптичних форм.

Згадайте, як на уроках математики ви будували графіки: від прямої лінії до хитромудрих кривих. Але чи замислювалися ви про те, що окрім безумовно прекрасної абстракції, ці криві мають цілком реальні застосування?

Взяти, до прикладу, параболу. Виявляється, що для цієї кривої можна знайти таку точку, так званий фокус, що всі промені, падаючи з неї на параболу, відбиваються строго перпендикулярно осі Ох. Ця властивість використовується, наприклад, при розробці ліхтариків та автомобільних фар — для їх підсилення за рахунок спрямування світлових променів.

Розгляньмо приклад із відеоігор — рух персонажа похилою площиною. Уявімо, що персонаж стоїть на схилі, і гра має правильно відобразити, як він ковзає вниз або підіймається вгору залежно від кута нахилу.

Персонаж у грі підпорядковується законам фізики. На похилій площині на нього діє сила тяжіння (F), яку можна розкласти на дві складові:
1. Перпендикулярна до площини сила (R), що "притискає" персонажа до схилу;
2. Паралельна площині сила (Q), яка змушує персонажа ковзати вниз.

Обчислення цих складових базується на тригонометричних функціях:
P = F ⋅ cos(θ), Q = F ⋅ sin(θ),
де θ — кут нахилу поверхні до горизонту.

І це лише частина обчислень, кінцевий результат яких створює враження, ніби персонаж дійсно взаємодіє з поверхнею. Без них він би не рухався реалістично — наприклад, міг би "зависнути" у повітрі або проходити крізь схил.

У шкільні роки математика часто сприймається як щось далеке й відірване від життя. Навіщо вивчати синуси й косинуси, якщо це не допомагає знайти знижки у супермаркеті чи розібратися в соціальних мережах? Та насправді, математика — це не набір абстрактних правил, а мова, якою описується світ. І навіть ті математичні інструменти, які здаються непотрібними, щоденно використовуються у багатьох професіях.

Кожен математичний розділ, вивчений вами у школі, знаходить своє місце у практичних застосуваннях. Наприклад, ті ж тригонометричні функції, які здавалися непотрібними, щоденно допомагають інженерам, програмістам і навіть дизайнерам відеоігор. Лінійні та квадратичні функції є невід'ємною частиною інструментарію економістів та соціологів. А алгебраїчні рівняння, які описують химерні фігури, вже давно стоять на озброєнні в архітекторів.

Сьогодні ми святкуємо не просто День Незалежності нашої країни, а день, коли ми ще раз нагадуємо собі, що майбутнє України — в наших руках. Справжня незалежність неможлива без освічених, талановитих та сміливих людей, які здатні приймати виклики часу та будувати нову Україну.

Ми віримо, що доступність освіти є ключем до майбутнього. Тому на честь свята оголошуємо акцію: до кінця літа ви можете придбати два місяці навчання за ціною одного! Це ваш шанс зробити перший крок до глибших знань і відкриття нових можливостей.

З Днем Незалежності! 🇺🇦

Знижки — всім!

Онлайн-школа «Математикотики» піклується про доступність освіти для всіх заохочених до знань, тому ми підготували для вас багато акцій, серед яких кожен знайде щось для себе! Читайте уважно, обирайте свої знижки, а найголовніше — у кінці цього посту 🤫

Отже, ви вирішили відкрити для себе химерну математичну реальність разом із нашою онлайн-школою? Ми дякуємо за ваш вибір знижкою 10% на перше відвідування і обіцяємо вас не підвести 😼

Довіряєте нашим педагогам і сподіваєтеся на довгу співпрацю з Математикотиками? Авжеж, ми не можемо залишити таку прихильність без уваги 🥹 Сплатіть за декілька місяців поспіль і ви отримаєте знижку 20%! А заплативши одразу за повний семестр, заощадьте цілих 30% 🤩

Допомога в розширенні школи радо винагороджується 😉 Приведіть до нас свого друга — подаруйте йому знижку 5% і самі сплатіть на 10% менше! А розказавши про нас у соц. мережах, прикрасьте свій тариф приємними знижками у 2.5% ☺️

Ваші батьки стоять на захисті нашої свободи та незалежності? 🇺🇦 Дітям учасників бойових дій надається пільга -15% від базової вартості навчання 🫡

Відвідуєте заняття разом з братами чи сестрами? 👫 То тримайте знижку 5% на кожного!

І, звісно ж, тимчасові акції та заходи, приурочені до визначних дат і свят 🥳 Найближча — вже цього місяця.

А найголовнішою пропозицією є можливість поєднувати різні акції та отримувати просто шалені знижки 😵‍💫

Не зволікайте — доєднуйтеся до Математикотиків уже зараз!

Заповнюйте гугл-форму або звертайтеся до нашого адміністратора.

Ніколи не розуміли, навіщо в школах вивчають усілякі синуси та інтеграли? 🤨 Час це виправити!

Математикотики — це школа, в якій справжні математики доступно знайомлять підлітків із застосуваннями цієї великої науки 😼

На своїх уроках ми грамотно надбудовуємо практичні навички на теоретичне підґрунтя, застосовуючи вивченні концепції для розв'язання актуальних задач за допомогою популярної мови програмування Python 🐍

Для запису на курс заповнюйте гугл-форму і очікуйте, поки ми зв'яжемося з вами 😊

Або телефонуйте за номером
Київстар: +380971915442
Vodafone: +380992810120
Lifecell: +380636170161

Привіт!
Ми — Математикотики, перша в Україні школа прикладної математики для підлітків 😼

Ми створили це місце, щоб допомогти підліткам відкрити захоплюючий світ математики та її застосування в реальному житті. Наші курси розроблені так, щоб навчити вас не тільки теоретичним знанням, але й практичним навичкам, які стануть в нагоді у повсякденні та майбутній кар'єрі.

Ви дізнаєтесь, як математика допомагає вирішувати реальні проблеми та відкривати нові горизонти в науці та технологіях. На заняттях ми розглянемо приклади застосування в різних галузях науки, таких як біологія 🦠, хімія 🧪, фізика 🔭, інженерія💡 та навіть мовознавство 📜

Приєднуйтеся до нас, щоб досліджувати математичні таємниці, розвивати критичне мислення та знайомитися з однодумцями. Ми тут, щоб підтримати вас на кожному кроці вашого математичного шляху!

🌟 Вивчайте. 🚀 Впроваджуйте. 📈 Досягайте успіху разом з нами!

Channel created