ЕГЭ по математике с Крис | MAXIMUM ИЗИ

Всем любителям профильной математики привет😊

7️⃣🔠🔠🔠🔠🔠🔠🔠

Вспоминаем логарифмы! Я вам записала видос, присылаю карточку и прописываю текстом основные формулы!

🔵логарифм произведения: log_a (x·y) = log_a x + log_a y.
🔵логарифм частного: log_a (x/y) = log_a x − log_a y.
🔵 логарифм степени: log_a (x^b) = b·log_a x.
🔵 следствие: log_a a = 1.
🔵 формула перехода к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a.
🔵степень в основании: log_{a^p} b = (1/p)·log_a b.

Смотрите, решайте и задавайте свои вопросы! Если для вас это уже тривиальная задача, то попробуйте решить устно 😎

ВЫДВИГАЕМСЯ ЗАНЯТЬ ПОСЛЕДНИЕ МЕСТА НА ИНТЕНСИВЕ 🏃‍♂️

Друзья, напоминаю вам, что осталось всего 4 ДНЯ!!!

4 дня, чтобы подключиться к интенсиву за месяц закрыть все свои пробелы в знаниях!

А еще это последний шанс получить в подарок дополнительный курс БУСТ для закрепления знаний 🥺

Даю вам еще раз ссылку: https://clc.to/69rNPA не упустите свой шанс!!!

3️⃣🔠🔠🔠🔠🔠🔠🔠

Пора возвращаться к повторению!

🟩ПРОТОТИП 1. УВЕЛИЧЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ. ЦИЛИНДР

Главная идея. Объём цилиндра меняется пропорционально линейным размерам в соответствующей степени.

Пример. Дано два цилиндра. Объём первого = 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго.
Решение.
V₁ = πR²h = 15.
У второго: h₂ = h/3, R₂ = 2R.
V₂ = π·(2R)²·(h/3) = π·4R²·h/3 = (4/3)·πR²h = (4/3)·15 = 20.
Ответ: 20

Алгоритм.
🔵 Запиши формулу объёма.
🔵Подставь новые размеры (в разах).
🔵Сравни с исходным объёмом.
❗️Не ищи R и h по отдельности, выражай новый объём через старый.

🟩ПРОТОТИП 2. УВЕЛИЧЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ. КОНУС.

Главная идея. Объём конуса меняется пропорционально высоте и квадрату радиуса.

🔵Если высоту увеличили/уменьшили в m раз (радиус не меняли), то объём увеличится/уменьшится в m раз.
🔵Если радиус увеличили/уменьшили в k раз (высоту не меняли), то объём увеличится/уменьшится в k² раз.
🔵Если меняются и высота, и радиус, то объём умножается на (k²·m).

Пример . Объём конуса = 27. Высоту уменьшили в 3 раза, радиус не меняли. Найдите новый объём.
Решение. V = (1/3)πR²h. Высота стала h/3. Значит объём уменьшится в 3 раза. V₂ = 27/3 = 9.
Если бы радиус увеличили в 2 раза (высота не менялась), объём вырос бы в 4 раза. V₂ = 27·4 = 108.

🟩ПРОТОТИП 3. ОТСЕЧЁННАЯ ПРИЗМА. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Главная идея. Через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Отсекается меньшая призма.
Что происходит с боковой поверхностью?

🔵 В основании отсечённой призмы лежит треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2 (средняя линия).
🔵 Значит стороны этого треугольника в 2 раза меньше, и периметр тоже в 2 раза меньше.
🔵 Высота призмы не изменилась.
🔵 Площадь боковой поверхности = периметр основания · высоту.

Следовательно, площадь боковой поверхности отсечённой призмы в 2 раза меньше исходной.

Пример. Площадь боковой поверхности треугольной призмы = 24. Через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой призмы.
Решение. 24 / 2 = 12.
Ответ: 12

🟩ПРОТОТИП 4. ОТСЕЧЁННАЯ ПРИЗМА. ОБЪЁМ

Главная идея. Та же конструкция, но теперь смотрим на объём.

🔵 Основание отсечённой призмы — треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.
🔵Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: (1/2)² = 1/4.
🔵Высота призмы не изменилась.
🔵 Объём = площадь основания · высоту.

Значит, объём отсечённой призмы в 4 раза меньше исходной.

Пример. Объём треугольной призмы = 52. Через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой призмы.
Решение. 52 / 4 = 13.
Ответ: 13

Обратный случай. Объём отсечённой призмы = 5. Найдите объём исходной.
Решение. 5 · 4 = 20.

С 1 мая, мои хорошие! 🌺

Мы с ржавиком отмечаем праздник Весны и Труда, как настоящие трудяги. Готовимся к встрече с группой 90+, будем мощно ботать🤓

Если вы на шашлыках, скиньте фотку, я вам позавидую…

1️⃣🔠🔠🔠🔠🔠🔠🔠

Продолжаем планиметрию, сегодня окружности! Два типа задач: касательная и вписанный/центральный углы.

🟩ПРОТОТИП 1. ГРАДУСНАЯ МЕРА ДУГИ И СВОЙСТВО КАСАТЕЛЬНОЙ

Главные идеи.
🔵Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
🔵Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
🔵Угол между касательной и секущей (или отрезком из точки касания) считается через прямоугольный треугольник, в задачах секущая проходит через центр.


🟩ПРОТОТИП 2. ВПИСАННЫЙ И ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГЛЫ

Главные идеи.
🔵Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
🔵Центральный угол равен дуге, на которую опирается.
🔵Если центральный и вписанный угол опираются на одну дугу, то центральный в 2 раза больше вписанного.

Прототип.

Центральный угол на 32° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол.
Что делаем. Пусть вписанный угол = x. Тогда центральный = x + 32. Но центральный = 2x. Уравнение: 2x = x + 32 → x = 32.
Ответ: 32°

Прототип.

Отрезки AC и BD — диаметры. O - центр окружности. Угол AOD = 16°. Найдите вписанный угол ACB.
Что делаем. Диаметры пересекаются в центре. Угол AOD центральный, опирается на дугу AD = 16°. Угол ACB вписанный, опирается на дугу AB. Дуга AB = 180° − 16° = 164°. Тогда угол ACB = 164°/2 = 82°.
Ответ: 82°

Ловите практику✍️
Жду вас в комментариях!