Пора возвращаться к повторению!
🟩ПРОТОТИП 1. УВЕЛИЧЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ. ЦИЛИНДР
Главная идея. Объём цилиндра меняется пропорционально линейным размерам в соответствующей степени.
Пример. Дано два цилиндра. Объём первого = 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго.
Решение.
V₁ = πR²h = 15.
У второго: h₂ = h/3, R₂ = 2R.
V₂ = π·(2R)²·(h/3) = π·4R²·h/3 = (4/3)·πR²h = (4/3)·15 = 20.
Ответ: 20
Алгоритм.
🔵 Запиши формулу объёма.
🔵Подставь новые размеры (в разах).
🔵Сравни с исходным объёмом.
❗️Не ищи R и h по отдельности, выражай новый объём через старый.
🟩ПРОТОТИП 2. УВЕЛИЧЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ. КОНУС.
Главная идея. Объём конуса меняется пропорционально высоте и квадрату радиуса.
🔵Если высоту увеличили/уменьшили в m раз (радиус не меняли), то объём увеличится/уменьшится в m раз.
🔵Если радиус увеличили/уменьшили в k раз (высоту не меняли), то объём увеличится/уменьшится в k² раз.
🔵Если меняются и высота, и радиус, то объём умножается на (k²·m).
Пример . Объём конуса = 27. Высоту уменьшили в 3 раза, радиус не меняли. Найдите новый объём.
Решение. V = (1/3)πR²h. Высота стала h/3. Значит объём уменьшится в 3 раза. V₂ = 27/3 = 9.
Если бы радиус увеличили в 2 раза (высота не менялась), объём вырос бы в 4 раза. V₂ = 27·4 = 108.
🟩ПРОТОТИП 3. ОТСЕЧЁННАЯ ПРИЗМА. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Главная идея. Через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Отсекается меньшая призма.
Что происходит с боковой поверхностью?
🔵 В основании отсечённой призмы лежит треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2 (средняя линия).
🔵 Значит стороны этого треугольника в 2 раза меньше, и периметр тоже в 2 раза меньше.
🔵 Высота призмы не изменилась.
🔵 Площадь боковой поверхности = периметр основания · высоту.
Следовательно, площадь боковой поверхности отсечённой призмы в 2 раза меньше исходной.
Пример. Площадь боковой поверхности треугольной призмы = 24. Через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой призмы.
Решение. 24 / 2 = 12.
Ответ: 12
🟩ПРОТОТИП 4. ОТСЕЧЁННАЯ ПРИЗМА. ОБЪЁМ
Главная идея. Та же конструкция, но теперь смотрим на объём.
🔵 Основание отсечённой призмы — треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.
🔵Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: (1/2)² = 1/4.
🔵Высота призмы не изменилась.
🔵 Объём = площадь основания · высоту.
Значит, объём отсечённой призмы в 4 раза меньше исходной.
Пример. Объём треугольной призмы = 52. Через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой призмы.
Решение. 52 / 4 = 13.
Ответ: 13
Обратный случай. Объём отсечённой призмы = 5. Найдите объём исходной.
Решение. 5 · 4 = 20.