Продолжаем планиметрию, сегодня окружности! Два типа задач: касательная и вписанный/центральный углы.
🟩ПРОТОТИП 1. ГРАДУСНАЯ МЕРА ДУГИ И СВОЙСТВО КАСАТЕЛЬНОЙ
Главные идеи.
🔵Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
🔵Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
🔵Угол между касательной и секущей (или отрезком из точки касания) считается через прямоугольный треугольник, в задачах секущая проходит через центр.
🟩ПРОТОТИП 2. ВПИСАННЫЙ И ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГЛЫ
Главные идеи.
🔵Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
🔵Центральный угол равен дуге, на которую опирается.
🔵Если центральный и вписанный угол опираются на одну дугу, то центральный в 2 раза больше вписанного.
Прототип.
Центральный угол на 32° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол.
Что делаем. Пусть вписанный угол = x. Тогда центральный = x + 32. Но центральный = 2x. Уравнение: 2x = x + 32 → x = 32.
Ответ: 32°
Прототип.
Отрезки AC и BD — диаметры. O - центр окружности. Угол AOD = 16°. Найдите вписанный угол ACB.
Что делаем. Диаметры пересекаются в центре. Угол AOD центральный, опирается на дугу AD = 16°. Угол ACB вписанный, опирается на дугу AB. Дуга AB = 180° − 16° = 164°. Тогда угол ACB = 164°/2 = 82°.
Ответ: 82°