До чего же красиво гомотопическая теория позволяет объяснять и формально моделировать самые разные айтишные темы, от software design до архитектурно-технических (и по-моему этим пока особо никто не занимался :).

Путь (Path) в HoTT -- это доказательство равенства между двумя объектами, причём по-интуиционистски: учитываем, "как именно" два объекта равны, а не только факт их равенства.

Level 1: путь описывает трансформацию из одного состояния в другое: например, шифрование сообщения с открытым ключом (путь от исходного текста к зашифрованному с RSA).

Level 2: путь между путями допускает разные реализации.
- шифрование с использованием готовой либы OpenSSL
- шифрование с помощью чистой математической реализации RSA на коленке в рамках cтуденческой лабы

Путь lvl2 доказывает эквивалентность этих реализаций (или предлагает методологию перехода от одной к другой с сохранением криптостойкости).

Level 3: пути между путями между путями (разные криптосистемы)

Возьмём например асимметричный подход RSA и симметричный подход с обменом ключами (AES по Диффи-Хеллману).
Путь lvl 3 описывает преобразование между этими фундаментально разными подходами к криптографии: формализует методы перехода от одной криптографической парадигмы к другой, сохраняя безопасность и функциональность. Например, это может быть гибридная криптосистема протоколов защищённой связи: асимметричное шифрование для обмена ключами и симметричное для основного потока данных.

Level 4: пути между путями между путями между путями: мета-методологии криптографической безопасности :)

В этой теме известны два принципиально разных мета-подхода:
1. Подход, основанный на математической сложности (определённые математические задачи типа факторизации больших чисел невозможно решить эффективно). Это база большинства современных криптосистем.
2. Подход, основанный на теории информации, где безопасность гарантируется независимо от вычислительной мощности атакующего (квантовое распределение ключей или одноразовые шифровальные блокноты :).

Путь lvl 4 позволяет
- создавать гибридные системы безопасности, адаптирующиеся к изменениям в вычислительных парадигмах (например, переход от классических к квантовым вычислениям)
- формализовать процесс доказательства безопасности при смене базовых предположений
- разрабатывать стратегии перехода от одной философии безопасности к другой в масштабах глобальных и критических инфраструктур

Lvl 4 также формализует подходы к управлению криптографическими рисками в условиях критической неопределённости относительно будущих вычислительных возможностей (постквантовая криптография на других принципах...).

Level 5 я не раскрою, а то меня застрелят :)