#ЮМТ #красота_спасет_мир

Финал южного турнира подошел к концу. Первоначально в тур гранд-лиги вошел шедевр 🖼 от Владимира Конышева.

Задача. Окружность 𝜔 с центром 𝐼 вписана в неравнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 и касается его сторон 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 в точках 𝑇𝑎, 𝑇𝑏 и 𝑇𝑐 соответственно. Произвольная прямая ℓ проходит через 𝐼. Пусть 𝐾𝑎 — отражение 𝑇𝑎 относительно ℓ, а 𝜔𝑎 — окружность, касающаяся 𝜔 и проходящая через точки 𝐴 и 𝐾𝑎. Аналогично определим окружности 𝜔𝑏 и 𝜔𝑐. Докажите, что существует окружность Γ, касающаяся окружностей 𝜔𝑎, 𝜔𝑏, 𝜔𝑐 и описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 (окружность Γ может иметь нулевой радиус).

После начала тура команда Летово сообщила, что ей знаком этот сюжет, более того, они помнят план решения обобщения задачи.

Обобщение состоит в том, что вместо точек 𝐾𝑎, 𝐾𝑏 и 𝐾𝑐 можно взять произвольные три точки на вписанной окружности так, чтобы треугольник с вершинами в этих точках был перспективен треугольнику 𝑇𝑎𝑇𝑏𝑇𝑐.

В открытых источниках жюри нашло только формулировку обобщения задачи, без полного ее решения. Жюри обобщенную задачу решать не умеет. Будем рады услышать решение от команды Летово в комментариях👇

Тем не менее, задача была заменена на следующую за авторством Леонида Шатунова.

Задача. Положим 𝐷, 𝐸, 𝐹 — точки касания вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 со сторонами 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴𝐵. Пусть также 𝐼 — инцентр, 𝑀 — точка пересечения медиан. Отразим точки 𝐷, 𝐸, 𝐹 относительно прямой 𝐼𝑀 — получим точки 𝐷′, 𝐸′, 𝐹′. Докажите, что изотомически сопряжённые прямые для 𝐴𝐷′, 𝐵𝐸′, 𝐶𝐹′ пересекаются на вписанной окружности.

Кроме того, в бою предлагалась интересная геометрия от Александра Петрашеня.

Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶, а 𝑋 и 𝑌 — проекции этой точки на стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Точки 𝑍 и 𝑇 выбраны на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно так, что 𝐴𝑍 = 𝐵𝑋 и 𝐶𝑇 = 𝐴𝑌. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑀𝑍𝑇 лежит на прямой 𝑀𝐻, где 𝐻 — точка пересечения высот треугольника 𝐴𝐵𝐶.