#на_ночь_глядя #ЮМТ

Полуфинал турнира подошел к концу. У Дагестана и Долгопрудного состоялся очень напряженный поединок. Отвечая на вызов по геометрии докладчик команды Долгопрудного утверждал что задача неверна 😨. Делимся её условием. А что думаете вы?

Задача. Вневписанные окружности касаются сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐶₁ и 𝐵₁ соответственно. Пусть 𝐴𝑀 и 𝐴𝐿 — cоответственно медиана и биссектриса этого треугольника, а 𝐼 — центр вписанной в него окружности. Известно, что точки 𝑀, 𝐿, 𝐵₁ и 𝐶₁ лежат на одной окружности. Найдите все возможные значения 𝐴𝐼/𝐼𝐿.

Раунд по ней закончился со счетом 4:4. Вторая геометрия в этом бою полуфинала не сыграла.

Задача. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписанного в окружность Ω, пересекаются в точке 𝑃. Пусть 𝐶𝑏 и 𝐶𝑑 — точки, симметричные точке 𝐶 относительно прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 соответственно; аналогично, пусть 𝐴𝑏 и 𝐴𝑑 — точки, симметричные точке 𝐴 относительно прямых 𝐶𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Касательная к Ω в точке 𝐶 пересекает прямую 𝐶𝑏𝐶𝑑 в точке 𝐶′, а касательная к Ω в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐴𝑏𝐴𝑑 в точке 𝐴′. Докажите, что прямая 𝐴′𝐶′ проходит через 𝑃.

В итоге матбой Долгопрудного и Дагестана завершился со счетом 22:22 — ничья. Финалист опредился в блице: с разницей в один балл выиграла команда Долгопрудного.

Уже завтра определится победитель 🏆 турнира.