Фулл и точка

#на_ночь_глядя #ЮМТ

Полуфинал турнира подошел к концу. У Дагестана и Долгопрудного состоялся очень напряженный поединок. Отвечая на вызов по геометрии докладчик команды Долгопрудного утверждал что задача неверна 😨. Делимся её условием. А что думаете вы?

Задача. Вневписанные окружности касаются сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐶₁ и 𝐵₁ соответственно. Пусть 𝐴𝑀 и 𝐴𝐿 — cоответственно медиана и биссектриса этого треугольника, а 𝐼 — центр вписанной в него окружности. Известно, что точки 𝑀, 𝐿, 𝐵₁ и 𝐶₁ лежат на одной окружности. Найдите все возможные значения 𝐴𝐼/𝐼𝐿.

Раунд по ней закончился со счетом 4:4. Вторая геометрия в этом бою полуфинала не сыграла.

Задача. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписанного в окружность Ω, пересекаются в точке 𝑃. Пусть 𝐶𝑏 и 𝐶𝑑 — точки, симметричные точке 𝐶 относительно прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 соответственно; аналогично, пусть 𝐴𝑏 и 𝐴𝑑 — точки, симметричные точке 𝐴 относительно прямых 𝐶𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Касательная к Ω в точке 𝐶 пересекает прямую 𝐶𝑏𝐶𝑑 в точке 𝐶′, а касательная к Ω в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐴𝑏𝐴𝑑 в точке 𝐴′. Докажите, что прямая 𝐴′𝐶′ проходит через 𝑃.

В итоге матбой Долгопрудного и Дагестана завершился со счетом 22:22 — ничья. Финалист опредился в блице: с разницей в один балл выиграла команда Долгопрудного.

Уже завтра определится победитель 🏆 турнира.

Подошел к концу третий тур боев. Сегодня было две геометрии, первая из которых — авторская от Владимира Конышева.

Задача. Диагонали трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶) пересекаются в точке 𝑂. На прямой 𝐵𝐶 отмечена точка 𝑅 такая, что 𝑅𝐴 = 𝑅𝐷. На прямой 𝐴𝐷 отмечена точка 𝑆 такая, что 𝑆𝐵 = 𝑆𝐶. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝑂 и 𝐶𝐷𝑂, пересекаются в точке 𝐾 (отличной от 𝑂). Докажите, что точка 𝐾 лежит на прямой 𝑅𝑆.

Задача. Пусть 𝐺 — точка пересечения медиан остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, а 𝑃 — точка на меньшей дуге 𝐵𝐶 его описанной окружности. Из точки 𝑃 опустили перпендикуляр 𝑃𝑄 на сторону 𝐵𝐶. Точка 𝑋 выбрана на прямой 𝐺𝑄 так, что 𝐴𝑋 ‖ 𝐵𝐶. Точка 𝑆 — середина отрезка 𝑃𝑋. Докажите, что ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑆𝐴𝐶.

Уже завтра состоятся полуфинальные матчи, желаем участникам удачи 🍀

P. S. В комментах можно увидеть, как проходил один из поединков.

#ЮМТ #красота_спасет_мир

Подошел к концу второй тур матбоев. В гранд лиге была красивая геометрия от Александра Петрашеня.

Задача. Высоты остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐻. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 выбраны точки 𝑃 и 𝑄 соответственно так, что отрезок 𝑃𝑄 проходит через 𝐻. Перпендикуляр к 𝐴𝐵, проведённый через 𝑃, пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝑋; перпендикуляр к 𝐴𝐶, проведённый через 𝑄, пересекает сторону 𝐵𝐶 в отличной от 𝑋 точке 𝑌. Отрезки 𝑃𝑋 и 𝑄𝑌 пересекаются в точке 𝑍. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝑋𝑌𝑍 и 𝐴𝐵𝐶, касаются.

Завтра на Южном турнире день отдыха. Жюри собирается отправиться в горы ⛰️ Желаем участникам хорошо отдохнуть и восполнить силы перед ответственными поединками 🥊)