Подошел к концу третий тур боев. Сегодня было две геометрии, первая из которых — авторская от Владимира Конышева.

Задача. Диагонали трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶) пересекаются в точке 𝑂. На прямой 𝐵𝐶 отмечена точка 𝑅 такая, что 𝑅𝐴 = 𝑅𝐷. На прямой 𝐴𝐷 отмечена точка 𝑆 такая, что 𝑆𝐵 = 𝑆𝐶. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝑂 и 𝐶𝐷𝑂, пересекаются в точке 𝐾 (отличной от 𝑂). Докажите, что точка 𝐾 лежит на прямой 𝑅𝑆.

Задача. Пусть 𝐺 — точка пересечения медиан остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, а 𝑃 — точка на меньшей дуге 𝐵𝐶 его описанной окружности. Из точки 𝑃 опустили перпендикуляр 𝑃𝑄 на сторону 𝐵𝐶. Точка 𝑋 выбрана на прямой 𝐺𝑄 так, что 𝐴𝑋 ‖ 𝐵𝐶. Точка 𝑆 — середина отрезка 𝑃𝑋. Докажите, что ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑆𝐴𝐶.

Уже завтра состоятся полуфинальные матчи, желаем участникам удачи 🍀

P. S. В комментах можно увидеть, как проходил один из поединков.