В этой статье был получен еще один важный результат – дробное квантование удельной холловской проводимости при наличии вырождения основного состояния, наблюдаемое в экспериментах как дробный квантовый эффект Холла.

В рассуждениях выше предполагалось, что основное состояние системы является невырожденным. А это значит, что при обходе по периметру периодически повторяющейся области 0 < α_x < 2π, 0 < α_y < 2π волновая функция должна вернуться к прежнему виду, приобретя набег фазы 2πn. Отсюда, по теореме Стокса, следует и квантование интеграла кривизны Берри в единицах 2π.

Если же основное состояние системы p-кратно вырождено – что бывает при дробном заполнении уровня Ландау на долю q/p – то волновая функция уже не обязана возвращаться к прежнему виду, а может совершить поворот в вырожденном подпространстве. Тогда можно использовать следующий трюк. Рассмотрим область на плоскости фаз, увеличенную в p раз: например, 0 < α_x < 2πp, 0 < α_y < 2π. Калибровку многочастичной волновой функции можно подобрать таким образом, чтобы при проходе через p копий исходной области мы перебирали все p вырожденных подуровней основного состояния. Как следствие, в расширенной области волновая функция основного состояния будет уже определена однозначно, и при интегрировании по этой области мы получим квантованный результат 2πn.

Но интеграл этот состоит из p одинаковых кусков, поскольку волновые функции связаны в них калибровочным преобразованием (что не должно влиять на наблюдаемый результат). Поэтому для нахождения σ_xy нужно поделить его на p, найдя σ_xy = (e²/h)n/p. Таким образом, мы получили наиболее общее теоретическое объяснение дробного квантового эффекта Холла для системы взаимодействующих электронов с беспорядком в магнитном поле.

#уровни_Ландау #топологические_материалы #объяснения