В этой классической теоретической статье 1985 года был получен важный результат: квантование удельной холловской проводимости двумерной системы при нахождении уровня Ферми внутри щели в самом общем случае – в многочастичной системе с взаимодействием и беспорядком.

Тремя годами раньше Таулесс, Комото, Найтингейл и ден Найс (TKNN) получили не менее важный результат. Они рассмотрели двумерную систему невзаимодействующих электронов в периодическом потенциале и магнитном поле, величина потока которого через одну элементарную ячейку есть рациональное число. В этом случае можно получить зонную структуру (уровни Ландау, превращающиеся из-за периодического потенциала в минизоны) и блоховские функции, и на их основе посчитать удельную холловскую проводимость σ_xy по формуле Кубо.

Авторы показали, что σ_xy оказывается пропорциональной интегралу кривизны Берри блоховских функций по первой зоне Бриллюэна, который квантуется из-за однозначности волновых функций. Итог – квантование удельной холловской проводимости σ_xy = (e²/h)n, которое и наблюдается в виде квантового эффекта Холла. Это замечательный результат, показывающий связь наблюдаемого транспортного коэффициента σ_xy с целочисленным топологическим инвариантом n, завязанным на глобальную структуру волновых функций всех заполненных электронами состояний. Но вывод TKNN – сугубо одночастичный, то есть пренебрегающий электронными взаимодействиями и, вдобавок, заменяющий реальный беспорядок периодическим потенциалом.

Новый же вывод 1985 года обладает большей общностью, работая с произвольными многочастичными волновыми функциями – а не с одночастичными блоховскими. Порядок рассуждений здесь следующий:

• Рассматриваем образец конечного размера L_x на L_y и налагаем на волновые функции скрученные (twisted) граничные условия: ψ(x + L_x, y) = exp(iα_x)ψ(x, y), ψ(x, y + L_y) = exp(iα_y)ψ(x, y). Поскольку уровень Ферми находится внутри щели, все одночастичные волновые функции локализованы, поэтому при больших размерах образца их хвосты не должны дотягиваться до границ. А следовательно, и удельная холловская проводимость σ_xy не должна зависеть от конкретных значений фаз α_x, α_y.

• Эта логика не работает для краевых состояний (магнитных краевых каналов), охватывающих весь образец по периметру. Но мы можем рассмотреть образец в виде диска Корбино, где краевые состояния не участвуют в транспорте. Хотя в одном из направлений в этом случае нельзя установить скрученные граничные условия, мы можем снова сказать, что для электронных состояний толщи точная форма граничных условий не важна.

• Коль скоро σ_xy не зависит от значений фаз α_x, α_y, по последним можно произвести усреднение, то есть интегрирование в диапазоне от 0 до 2π. С другой стороны, калибровочным преобразованием ψ(x, y) → exp(–ixα_x/L_x – iyα_y/L_y)ψ(x, y) скрученные граничные условия можно превратить в периодические, но цена этого – появление в гамильтониане дополнительного векторного потенциала, сдвигающего квазиимпульсы всех одночастичных волновых функций (на основе которых строится многочастичная).

• Таким образом, мы приходим к конструкции TKNN, но в многочастичном варианте: σ_xy пропорциональна интегралу от кривизны Берри по двумерной периодически повторяющейся области, который квантуется в силу однозначности многочастичной волновой функции. Если основное состояние системы является невырожденным, то квантование получается целочисленным, так что σ_xy = (e²/h)n, где n – целое число.

#уровни_Ландау #топологические_материалы #объяснения