Предел точности длины.

Вы когда-нибудь задумывались, с какой максимальной точностью в физике можно измерить длину? Вернее даже так: с какой точностью реальность хранит в себе информацию о расстояниях? Думаете, что это Планковская длина (lₚ = √(ℏG/c³) ≈ 1.6 × 10⁻³⁵ м)? А вот и нет!

Если мы будем измерять длину L с помощью фотона, то точность измерения будет зависеть от точности положения нашего детектора за время, пока фотон летит туда и обратно (t = 2L/c). Положение и импульс детектора связаны принципом неопределенности Гейзенберга: Δx·Δp ≥ ℏ/2. За время полета фотона квантовая неопределенность положения детектора неизбежно вырастет до значения Δx + (Δp/m)t.

Чем больше масса детектора m, тем стабильнее его положение. Однако, максимальная масса ограничена чернодырным пределом: чтобы детектор не сколлапсировал в черную дыру, его размер должен превышать радиус Шварцшильда: Δx ≥ 2Gm/c², откуда m ≤ Δx·c² / 2G.

Объединив эти два условия, мы получаем фундаментальный предел максимальной точности:
Δx ≥ ∛(lₚ²·L)

Этот результат в физике известен, как предел Каройхази. Это куда больше, чем планковская длина, вплоть до 10⁻¹⁵ метров (порядка размера атомного ядра), если мы измеряем самые большие космологические расстояния (L ≈ 10²⁶ метров).

Это принципиальный предел. Невозможно никаким способом измерить расстояние точнее. Это накладывает фундаментальный предел на максимальную информацию, которая хранится в любом расстоянии.

Также можно вывести этот предел из голографического принципа. Максимальная точность расстояния Δx внутри области пространства радиуса L позволяет разрезать его на кубики, которые мы можем различить, записав туда 1 бит информации. Общее число таких кубиков ~ L³ / Δx³. Но согласно голографическому принципу количество различимых областей внутри пространства ограничено количеством планковских площадей на поверхности его границы ~ L² / lₚ². Приравнивая число планковских клеточек снаружи и число различимых кубиков внутри, мы получаем то же самое значение размера одного кубика:
L³ / Δx³ ≈ L² / lₚ² ⇒ Δx ≈ ∛(lₚ²·L)

#Инфофизика@entropians
#Пределы@entropians