Математика — это наименьший такой предмет, что:
• Математика включает натуральные числа, планиметрию и стереометрию
• Математика — это то, что изучают математики
• Математики — это те люди, которые углубляют человеческое понимание математики
Другими словами, по мере развития математики мы включаем её в наше мышление. По мере того как наше мышление становится более сложным, мы порождаем новые математические концепции и новые математические структуры: предмет математики меняется, отражая то, как мы мыслим.
Если то, что мы делаем, — это конструирование лучших способов мышления, то психологические и социальные аспекты просто необходимы для хорошей модели математического прогресса. Эти измерения отсутствуют в популярных моделях. В карикатурном виде популярная модель математического прогресса утверждает, что:
Definition. Математики исходят из нескольких базовых математических структур и набора аксиом, «данных» относительно этих структур.
Theorem. Существуют различные важные вопросы об этих структурах, на которые нужно ответить и которые можно сформулировать как формальные математические предложения.
Proof. Задача математика — найти дедуктивный путь от аксиом к предложениям или к их отрицаниям.
Мы могли бы назвать это моделью математики «определение-теорема-доказательство» (DTP). Очевидная её слабость в том, что она не объясняет источник возникновения вопросов.
Мы не пытаемся выполнить некий абстрактный план по производству определений, теорем и доказательств.
Мера нашего успеха в том, позволяют ли наши действия людям понимать и мыслить о математике яснее и эффективнее. Для нас много более важным является вопрос «как мы понимаем математику»
———
Чтобы учиться математике эффективнее, смотрите на свою деятельность как на конструирование новых когнитивных инструментов
Каждый новый объект, метод или доказательство ценны ровно настолько, насколько они делают ваше мышление:
• более ясным (вы видите суть без лишнего шума)
• более гибким (можете применять идеи в разных задачах)
• более продуктивным (рождаются новые вопросы и ходы мысли)
Вместо заучивания доказательств задайтесь вопросом: «какую новую перспективу на математику это мне дало?»
Когда продумываете пример или схему рассуждений: «помогает ли это мне и другим мыслить лучше?»
Оценивайте успех занятий не числом совершенных открытий, а тем, насколько они изменили ваше мышление и понимание