Понимание математики — очень сложный вопрос. Это индивидуальная и внутренняя составляющая, которую трудно полностью осознать, понять и, зачастую, передать.
Люди очень по-разному понимают те или иные фрагменты математики. Для иллюстрации следует привести пример, воспринимающийся опытными математиками по-разному, но с которым начинающие испытывают трудности. Здесь хорошо подходит производная функции. О ней можно думать следующими способами:
1. Инфинитезимально
Отношение бесконечно малого изменения значения функции к бесконечно малому изменению аргумента.
2. Символически
Производная от икс квадрат равна два икс, производная от синуса равна косинусу, производная композиции выражается так-то, и так далее.
3. Логически
Производная функции равна такому числу, что для любого эпсилон больше нуля существует такая дельта, что выполняется определённая импликация.
4. Геометрически
Наклон прямой, касающейся графика функции.
5. Частотно
Мгновенная скорость в данный момент времени.
6. Аппроксимативно
Наилучшее линейное приближение к функции вблизи точки.
7. Микроскопически
Предел того, что можно получить, рассматривая функцию под микроскопом все большей мощности.
Это скорее список различных способов мышления или представления о производной, чем её логических определений.
Различия начнут исчезать, если начать переводить эти мысленные концепции в точные, формальные и однозначные определения (если только не прилагать значительных усилий для сохранения тона и вкуса исходных инсайтов).
Я помню, как воспринимал каждую из этих концепций как нечто новое и интересное, тратил много умственных сил и времени на то, чтобы переварить и отработать каждую из них, согласовывая ее с другими. Я также помню, как впоследствии возвращался к этим концепциям с новым смыслом и пониманием.
Список выше можно продолжать, и нет никаких причин, чтобы он когда-нибудь закончился. Ниже приведён пример. Нам может казаться, что мы знаем всё, что можно сказать по тому или иному вопросу, но новые открытия не за горами. Кроме того, четкий мысленный образ для одного человека — это запугивание для другого:
37. Производная функции — это лагранжево сечение кокасательного расслоения, задающее форму связности для единственной плоской связности на тривиальном расслоении, для которого график исходной функции является параллельным.
Эти различия — не просто какая-то диковинка. Человеческое мышление и понимание не работают по единой схеме, подобно компьютеру с единым центральным процессором.
Наш мозг и сознание, по-видимому, организованы в виде множества отдельных мощных систем, которые работают в свободном режиме, “разговаривая” друг с другом на высоких, а не на низких уровнях организации.