Математика Бродского

Условия задач обоих дней IMO
(Международная математическая Олимпиада), которая сейчас проходит в Шанхае.

Для участие в этой олимпиаде каждая страна-участник отбирает топ-6 ребят, которые
будут представлять ее честь.

Каждый день участники получают три задачи на разные темы: по алгебре, теории чисел, комбинаторике и геометрии.

Также доступны на официальном сайте.

Оба дня IMO. Уже традиционно с одной геометрией, зато довольно симпатичной — автор Mykhailo Shtandenko (авторов других задач не знаю, можете добавить в комментарии)

Условия задач первого дня IMO — главной международной Олимпиады по математике.

Вот появилось условие первого дня IMO, международной Олимпиады, которая сейчас проходит в Шанхае

Аффинные преобразования

Выдали детям в ЛГШД серию про аффинные преобразования.

С**а каждый первый решил, что аффинные преобразования нужны для того, чтобы перевести треугольник в правильный или прямоугольный, чтобы потом было удобнее считать в Декартах.

Милый факт

Сегодня на занятии решал задачу. По-моему, весьма симпатичное утверждение. Я вообще люблю подобного сорта задачи, хотя теоретико-множественная возня далеко не всем по душе.

Интересно, для какого наименьшего числа функций это верно. Легко придумать пример для двух функций, когда это не выполняется.

Решение задачи про полубокс

Обозначим полубоксы разбиения за B1, B2 … Bm. Наша задача показать, что m >= 2^n. Рассмотрим случайный полубокс S с нечетными длинами сторон и обозначим за Ck пересечение S с Bk (по каждой координате равноверотяно выбирается одно из нечетных непустых неполных подмножеств). Ясно, что Ck дают разбиение S на не пересекающиеся множества, значит хоть в каком-то из них должно быть нечетное число элементов.

Посчитаем вероятность того, что пересечение S с B1 нечетно. Это событие равносильно тому что пересечение по каждой координате Si с B1i нечетно, вероятность которого равна вероятности выбрать нечетное подмножество B1i (при равновероятном выборе любого подмножества) — а тут уже каждый может убедиться что это 1/2. Получается, что искомая вероятность это 1/2^n.

Теперь вероятность того, что хотя бы одно пересечение нечетно не превосходит m / 2^n. С другой стороны, она равна 1, конец.

Интересно, что я не умею решать эту задачу без трюка с нечестностью —хотя именно здесь он кажется мне достаточно контринтуитивным. Задача выглядит так, как будто бы должна несложно решаться по индукции, но мне доделать такой подход не удалось — буду рад, если кто-нибудь меня научит.

Задача про комбинаторный полубокс

Комбинаторный бокс это декартово произведение множеств A1 * A2 * … * An. Полубокс это произведение B1 * B2 * … * Bn где каждый Bk это непустое строгое подмножество Ak.

Бокс разрезали на непересекающиеся полубоксы. Тогда полубоксов хотя бы 2^n

Одна из лучших задач, которые я решал в последнее время.

Некоторые каналы распространяют информацию о стипендиях ЛГШД 2026, отправляя за подробностями сюда. Это не совсем корректно, подробная информация в официальном канале. Распространение крайне привествуется!

https://t.me/vsosh_olymp/909

Самое короткое доказательство теоремы о прямой Гаусса 📏

Сегодня мы вновь поговорим про теорему о прямой Гаусса, рассказав другой способ ее доказательства. Этот подход является нашей авторской методической находкой, пару лет назад Давид Бродский специально придумал его для того, чтобы рассказывать теорему о прямой Гаусса восьмиклассникам, которые только что узнали теорему Менелая.

Решение: Начнем со следующего хорошо известного утверждения: Через точку X внутри параллелограмма ABCD провели прямые, параллельные сторонам этого параллелограмма. Проведенные прямые пересекают стороны AB, BC, CD и DA в точках P, R, Q, S соответственно. Тогда прямые PS, QR и BD пересекаются в одной точке (или все три параллельны).

Доказательство остается участникам в качестве простого упражнения: нужно пересечь каждую из прямых PS и QR с BD по отдельности в точках Y1 и Y2 соответственно, после чего при помощи теоремы Менелая понять, что Y1 = Y2.

Определим точку Y как пересечение прямых PS и QR. Согласно предыдущей задаче, точки B, D и Y лежат на одной прямой. Тогда середины B’, D’ и Y’ отрезков XB, XD и XY соответственно также лежат на одной прямой — параллельной исходной, но вдвое меньшем расстоянии от точки X. 

Но середины B’ и D’ это точки пересечения диагоналей параллелограммов PBRX и QDSX соответственно, потому они также являются серединами отрезков PR и SQ. Но утверждение о том, что точки B’, D’ и Y’ лежат на одной прямой — это в точности утверждение о прямой Гаусса для четырехугольника PYRX.

Теперь для того, чтобы получить строгое доказательство теоремы, достаточно просто стартовать с четырехугольника PYRX и провести все рассуждения в обратном порядке. 

А еще больше классных подходов к решению классических задач вы найдете в летней геометрической школе «Дабромат». До повышения цены на курсы осталось меньше недели!

👉🏻 Записаться в ЛГШД 👈🏻

Какое решение понравилось вам больше всего? Пишите в комментариях.

Милок доказательство прямой Гаусса, которое я придумал несколько лет назад раздумывая над одной задачей с Уральского Турнира

Хотел использовать гпт, чтобы вставить задачу на одну идею в листок. Кажется, на летних курсах меня пока бездушная машина не заменит.

Это, кстати, пятая итерация, сначала гпт усиленно пытался пользоваться тем, что инверсия сохраняет углы в формулировке ABC = A’B’C’

Дилогия Лобачевского

В этом году исполняется 200 лет геометрии Лобачевского. В честь этого мы в Дабромат решили сделать курс по применению неевклидовых методов в классической геометрии.

Помимо этого я давно вынашивал мысль сделать спецкурс по инверсии с точки зрения того, как ее применять на современных олимпиадах — ибо классически учебники уже несколько устарели.

Совместив две эти идеи мы сделал два курса: инверсия будет в апреле и учить там буду я, а в мая пройдет курс по геометрии Лобачевского от маэстро Павла Бибикова. Вместе эти два курса и есть диалоги Лобачевского.

Программы курсов связаны, и мы ожидаем от участников курса по геометрии Лобачевского знания инверсии в том объеме, в котором мы расскажем на курсе — так что, рекомендуем записываться на оба курса, чтобы ничего не пропустить!

Как всегда, помогать на курсах нам будет бот Такса Дуся.

Будем благодарны за распространение информации среди всех потенциально заинтересованных. Программа и подробности в посте по ссылке и на сайте.

https://t.me/vsosh_olymp/819

Собрали для вас своими силами авторов задач этого рега

https://t.me/vsosh_olymp/768

Пытался добиться от GPT нормального интутивного объяснения того, что такое дуальный объект в категории, а получил новый мем про волков какой-то ...

Картинки с прошлого стрима

Можно использовать для проведения своих занятий.