Сегодня мы вновь поговорим про теорему о прямой Гаусса, рассказав другой способ ее доказательства. Этот подход является нашей авторской методической находкой, пару лет назад Давид Бродский специально придумал его для того, чтобы рассказывать теорему о прямой Гаусса восьмиклассникам, которые только что узнали теорему Менелая.
Решение: Начнем со следующего хорошо известного утверждения: Через точку X внутри параллелограмма ABCD провели прямые, параллельные сторонам этого параллелограмма. Проведенные прямые пересекают стороны AB, BC, CD и DA в точках P, R, Q, S соответственно. Тогда прямые PS, QR и BD пересекаются в одной точке (или все три параллельны).
Доказательство остается участникам в качестве простого упражнения: нужно пересечь каждую из прямых PS и QR с BD по отдельности в точках Y1 и Y2 соответственно, после чего при помощи теоремы Менелая понять, что Y1 = Y2.
Определим точку Y как пересечение прямых PS и QR. Согласно предыдущей задаче, точки B, D и Y лежат на одной прямой. Тогда середины B’, D’ и Y’ отрезков XB, XD и XY соответственно также лежат на одной прямой — параллельной исходной, но вдвое меньшем расстоянии от точки X.
Но середины B’ и D’ это точки пересечения диагоналей параллелограммов PBRX и QDSX соответственно, потому они также являются серединами отрезков PR и SQ. Но утверждение о том, что точки B’, D’ и Y’ лежат на одной прямой — это в точности утверждение о прямой Гаусса для четырехугольника PYRX.
Теперь для того, чтобы получить строгое доказательство теоремы, достаточно просто стартовать с четырехугольника PYRX и провести все рассуждения в обратном порядке.
А еще больше классных подходов к решению классических задач вы найдете в летней геометрической школе «Дабромат». До повышения цены на курсы осталось меньше недели!
👉🏻 Записаться в ЛГШД 👈🏻
Какое решение понравилось вам больше всего? Пишите в комментариях.