будем считать количество трехмерных диаграмм Юнга («фигур из кубиков в углу комнаты», между кубиком и каждой из трех стенок не должно быть пустот) данного объема

их оказывается столько же, сколько матриц из целых неотрицательных чисел, если число в клетке (i, j) считать с весом i+j-1 (так что, например, производящая функция для всех трехмерных диаграмм равна Π(1-q^i)^{-i})

это может показаться смутно гармоничным (если в плоском разбиении на клетке (i,j) лежит кубик, то и на клетках (i',j) и (i,j') при всех i'<i и j'<j лежат кубики… и всего таких кубиков минимум i+j-1…), но если пытаться придумать конкретную биекцию, возникает ощущение магии

это тоже магия соответствия RSK


выше была версия RSK, переводящая перестановку в пару стандартных таблиц одинаковой формы… здесь используется версия, переводящая произвольную матрицу из целых неотрицательных чисел в пару полустандартных таблиц одинаковой формы — а если рассечь трехмерную диаграмму Юнга по диагонали то как раз получится обычная диаграмма Юнга, в клетки которой можно записать, сколько кубкиков растет в одну сторону, а можно — сколько в другую

реализация — в комментариях


дальше решил попросить chatgpt сделать веб-версию с рисованием кубиков — и это была прямо суперразочаровывающая трата времени (все делает неправильно, не способен реагировать на замечания, да еще при доработке рисования кубиков все время норовит удалить собственно RSK)

плюнул и за 10 минут написал matplotlib-рисование кубиков (результат на картинке)… ну может еще и сделаю веб-версию, не знаю

***

у нас с Мишей Берштейном есть текст в МатПросвещении, где рассказывается в том числе про подсчет трехмерных диаграмм Юнга — но там никакого RSK как раз нет, другое есть: https://www.mathnet.ru/rus/mp823