суммы двух квадратов обсуждают часто, а родственные утверждения — реже

для этого есть объективные причины, но все же попробуем еще что-то… вот, например, таблица чисел вида X²+5Y²

как и в прошлый раз, посмотрим на представимость нечетных чисел — и сразу возникают какие-то идеи и какие-то вопросы, правда?

задача для начала знакомства с темой: доказать, что если числа M и N представимы, то и число MN представимо

более искушенным читателям предлагаю обратить внимание на то, что числа 3, 23, 43 не представимы в нужном виде, хотя кратные им числа нетривиальным образом представимы (для X²+Y² так не бывает)

***

в экселе ставить простые эксперименты легко, и выглядит сразу нагляднее, чем код

но все ж для данного d поискать в представимости N в виде X²+dY² период, да еще не учитывая при этом составные N, удобнее на питоне (код будет в комментариях)

***

Эйлер размышлял над этим сюжетом примерно 40 лет и открыл много всего интресеного, включая квадратичный закон взаимности

поразительно, что Эйлер нашел (хотя и не доказал) правильный ответ и, например, для d=27, где… ну можете сами запустить программу и посмотреть

вокруг этого сюжета есть замечательная книжка Cox'а «Primes of the form x²+ny²» (она быстро становится не очень простой — по крайней мере, я теряюсь — но первая глава заинтересованным старшеклассникам вполне доступна)