Компьютерная математика Weekly: “про сложение точек на кубике и последовательности Сомоса

про сложение точек на кубике и последовательности Сомоса — уточню до конкретного кода

для точки P=(3,5) на кривой y²=x³-2 считали уже координаты точек nP. можно заметить, что знаменатели иксов все время оказывались точными квадратами… ну вот найдем, чьи именно это квадраты:


from fractions import Fraction
import math

N = 20

x, y = x0, y0 = 3, 5
u = [0]*(N+1)
u[1] = x0.denominator
for n in range(2,N+1):
    k = Fraction(y-y0, x-x0) if (x,y) != (x0,y0) \
            else Fraction(3*x0*x0, 2*y0)
    x = k*k-x0-x 
    y = -(k*(x-x0)+y0)
    b = math.isqrt(b2 := x.denominator)
    assert b**2 == b2
    u[n] = b

получается последовательность 1, 10, 171, 7660, 12660211, 22652313570…

так вот, можно рядом написать рекурренту типа «Сомос-4» (v[n+2]·v[n-2] = c₁·v[n+1]·v[n-1]+c₂·v[n]² — и рекуррентам именно такого вида удовлетворяют также числа Фибоначчи или количества замощений ацтекского брильянта):


v = [0]*(N+1)
v[:5] = [0, 1, 10, 171, -7660]
c1, c2 = v[2]**2, -v[3],
for n in range(5,N+1):
    b = c1*v[n-1]*v[n-3]+c2*v[n-2]**2
    assert b%v[n-4] == 0
    v[n] = b//v[n-4]

    print(f"n = {n:2d}: {u[n] == v[n] or u[n] == -v[n]} ({len(str(u[n])):3d} digits)")

и убедиться, что всё сходится

как введение в последовательности Сомоса в hands-on стиле — был проект на ЛКТГ-2023 и статья А.Устинова в Кванте №№8-9 за 2023 год