выше обсуждалось, что на эллиптической кривой экспоненциально мало точек с небольшими знаменателями (и поэтому даже если их бесконечно много, при наивном переборе их совсем не видно) — и это проявление того, что при сложении на кубике знаменатели экспоненциально растут

вот на последнее как раз легко посмотреть экспериментально

конечно сложение точек уже реализовано в sage и т.п., но по сути это просто проведение секущей через пару точек на кубике и нахождение третьего пересечения с кубикой — и это легко сделать и руками:

from fractions import Fraction

# y^2 = x^3 - 2
def add(P, Q):
    x1, y1 = P
    x2, y2 = Q

    k = Fraction(y2 - y1, x2 - x1) if P!=Q \
            else Fraction(3*x1*x1, 2*y1)

    x3 = k*k - x1 - x2 # Vieta
    y3 = -(k*(x3 - x1) + y1)

    return (x3, y3)

P = (3, 5)

Q = P
for n in range(2,14):
    Q = add(Q, P)
    print(f"[{n:2d}] {Q[0]}")

экспоненциальный рост прямо визуально виден

выписанные числа на экране образуют параболу, то есть рост ~exp(cn²)


ср. это с тем, что происходит для кривой с похожим уравнением, y²=x³+x², но особой (имеющей самопересечение)… — арифметика, как уже говорилось, помнит про геометрию