пусть кривая (скажем) задана полиномиальным уравнением на x и y с целыми коэффициентами. есть общий принцип в духе «арифметика отражает геометрию», что количество решений что-то помнит про геометрию этой кривой

слова про «количество решений» при этом можно понимать по-разному. можно считать решения по разным простым модулям — t.me/compmathweekly/45 & t.me/compmathweekly/69

но можно и более прямолинейно: считаем рациональные решения (X/Z,Y/Z) для |X|,|Y|,|Z|<N и смотрим на асимптотику по N (чтобы не считать одно и то же много раз, желательно еще запретить X, Y, Z иметь общий делитель)

для степени кривой возможны такие варианты: 1-2, 3, много

1-2) для разминки можно подумать, что будет для линейного уравнения? а для x²+y²=1? а для другой коники?

этот случай можно считать продолжением того, про что рассказывал школьникам на майском семинаре учителей (впрочем, продолжением той части, до которой дело как раз не дошло )

а сейчас сюжет про рациональные точки на кривых напомнил коллега Горчинский — спасибо ему за лекцию для наших школьников

3) для эллиптической кривой (гладкой кубики) рост логарифмический, причем в асимптотике виден и ранг — всё растет примерно как c(log N)^(r/2)

много) дальше уже никакой асимптотики нет: по теореме Фальтингса при большей степени [если кривая гладкая] — число рациональных точек вообще конечно

***

подумал, что мб разумная тема для компьютерного эксперимента

но в реальности если для первого случая действительно виден полиномиальный рост (и даже константы примерно видны), то для эллиптического случая с наивным перебором не получается увидеть примерно ничего

ну потому что это как носить воду в решете — и так-то кривая имеет положительную коразмерность, а если мы смотрим только на рациональные решения, то еще у nP величина координат растет экспоненциально…

мб будет еще продолжение