возникла пауза в компьютерной математике, но попробуем постепенно продолжить

начинал уже ( https://t.me/compmathweekly/45 ) разговор про подсчет количеств решений mod p

базовый пример здесь — плоские кривые: пишем уравнение на x и y с целыми коэффициентами и смотрим как растет количество решений mod p с ростом p

для линейных уравнений ничего интересного не происходит: сколько есть остатков, столько и точек на прямой

рациональная параметризация учит, что и для квадратных уравнений ничего особенно интересного не происходит (если только правильно учесть «точки на бесконечности»)

дальше последовательность выглядит как «один, два, много» — кубические кривые уже скрывают бесконечную сложность… но чтобы с чего-то начать:

если мы смотрим на число N(p) решений y²=x³+ax²+bx+c mod p (и всё гладко, что бы это ни значило… напр., кривая y²=x³ не подходит), то можно ожидать, что правая часть примерно с одинаковой вероятностью квадратичный вычет и квадратичный невычет… и если воспринимать здесь идею про случайность всерьез, то можно ожидать, что |N(p)-p| имеет порядок примерно √p

из (доказанных) гипотез Вейля следует, что |N(p)-p|⩽2√p, в частности, N(p)/p→1… а дальше можно посмотреть на произведение N(p)/p (по p⩽x) — и ожидается, что эта штука растет примерно как log(x)^r, где r — ранг нашей кривой (рациональные точки на кривой образуют коммутативную группу, речь идет про ее ранг)

последнее утверждение — это форма гипотезы BSD (такая… более рабоче-крестьянская форма: без L-функций)

хотел проверить это экспериментально на каких-то примерах, но пока выходит не очень (нужно считать количества точек для больших p, а это лучше делать не в лоб, а быстро считать символ Лежандра… все преодолимо, но пока пусть останется планом)