Запишем таблицу умножения чисел от 1 до N. Много ли чисел в ней встречаются?

Ну первая идея, что примерно N²/2… но некоторые числа встречаются несколько раз не только потому что 6×7=7×6, но и нетривиальным образом (24=8×3=6×4, вот это всё)… насколько это существенно?

Для таблицы умножения 10×10 ответ 42, вроде не очень далеко от 50. Но это потому что 10 маленькое число — на самом деле, встречается лишь o(N²) чисел!

На пальцах можно так объяснить. Сколько обычно простых делителей у числа, не превосходящего N? Каждое p является делителем с вероятностью 1/p, поэтому матожидание числа делителей есть ∑1/p, а эта сумма растет (как здесь обсуждалось) как log log N. А для чисел из таблицы умножения типичное количество простых делителей равно 2 log log N, среди чисел от 1 до N² таких чисел очень мало (почти у всех намного меньше простых делителей, log log N²).

Но это только начало истории, дальше — см. t.me/MathfromKrach/213

«Those familiar with the landscape of mathematics will instantaneously recognize this problem as something Erdős would ask. It was indeed Erdős who asked this in 1955. In the following, we discuss some elementary bounds for this problem, a remarkable achievement of Ford who solved the problem up to a constant factor, and finally rather surprising conjectural answer to this question, which is a work in progress by Ben Green and Mehtaab Sawhney.»