Ботаем геому

РазминОчка

Пусть P – произвольная точка на стороне BD параллелограмма ABCD. Окружность с центром Р, проходящая через А, повторно пересекаст AB и АD в точках X и Y соответственно. Прямая АР пересекает ВС и СD в точках Q и R соответственно.
(!) ∠XPY = ∠XQY + ∠XRY

И ещё несколько классных листиков на счёт отрезков в порядке возрастания сложности

Небольшая подборка задач на теорему Пифагора и формулу Стюарта

Сегодня проводил пару интенсива к региону для девятиков. Несмотря на то, что это 9 класс, на мой взгляд, листик очень тяжелый. Думаю, даже для продвинутых в геоме он потребует хотя бы 2 часа для полного прорешивания...

Еще хочу обратить внимание, что 8 задача – пятерка рега прошлого года 9 класса, у которой я нашел решение, подходящее под тему листка, и которого нет в официальных...

Норм задача

Точки H, O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC, а точка F на AB такова, что OF || BC. Пусть точка M – середина AH.
(!) ∠FMC = 90⁰

Продолжение предыдущей задачи

Красные окружности касаются боковых сторон в голубых точках

Симпатичная задача для начинающих геометров

Точки I₁ и I₂ – центры вписанных окружностей рыжего и голубого треугольников
(!) Существование пунктирной окружности

Прикольненько

Серединный перпендикуляр к стороне BC треугольника ABC пересекает AB, AC в точках Ab, Ac. Пусть Oa – центр (AAaAb), аналогично определим Ob, Oc.
(!) (ABC) и (OaObOc) касаются

Две похожие задачи с немного похожими решениями

1. (Ол ЮМШ 2024 10-11) Три треугольника таковы, что второй вписан в первый, третий вписан во второй и гомотетичен первому.
(!) Если описанные окружности первого и второго касаются, то и описанные окружности второго и третьего тоже касаются

2. Три треугольника таковы, что второй – педальный треугольник некоторой точки относительно первого, а третий – педальный треугольник той же точки относительной второго.
(!) То же, что и в первой задаче

upd. Вторая задача является следствием первой, но есть красивое решение, работающие только для второй задачи

Теорема Фрежье

Дана коника и точка на ней.
(!) Все хорды коники, которые видны из этой точки под прямым углом, проходят через фиксированную точку

Добрая разминка

Синяя точка произвольная на средней линии правильного треугольника

Хорошая задача

Пусть ABC – прямоугольный треугольник с ∠C = 90. Точка T – основание биссектрисы из угла C, D это основание высоты из C на AB, а X произвольная точка на высоте. Точка K на AX и точка L на BX таковы, что BK = BC, AL = AC.
(!) Точки T, D, K, L лежат на одной окружности