Не лишним будет помнить, что слово "game" также переводится как "дичь", в контексте охоты или кулинарии. Соответственно "big game" - это крупная дичь. А фраза "he's a big game player" переводится как "он охотник на крупную дичь", что является фразеологизмом, означающим, что чел всякой мелочовкой не занимается.

Ещё примеры такиих фразеологизмов в жизни:
"The game is on" — начинается охота, всё по‑настоящему
"He’s got game" — он умеет добиваться своего (в отношениях, в бизнесе, в жизни)
"This deal is serious — real game." — Эта сделка серьёзная, это не шуточная цель.
"We’re after game that changes the company." — Мы охотимся за дичью, которая перевернёт компанию.
"Forget the small stuff. We're going after the real game." — Забей на мелочи. Мы идём за настоящей дичью.
"Celebrities are often considered fair game for the tabloids." — Знаменитости часто считаются «дозволенной добычей» для жёлтой прессы.

Чтобы не тащить каждое упоминание "game" к себе в геймдев.