Объект, который традиционно называют «(∞, 1)-категория» следует воспринимать и называть (просто) категориями.
А «(n, 1)-категории», восстанавливаются как его частные случаи — это просто те категории, в которых Hom-ы (n-1)-усечены. (см. незатейливый смысл этой терминологии пар индексов по ссылке (n,r)-category). То есть, в частности, по унивалентности, типы объектов n-усечены (но в другую сторону импликации нет, потому что усеченность типа объектов определяется только изоморфизмами в Hom-ах, а остальные морфизмы при таком условии могут иметь иерархию равенств любой высоты).
Аналогично, можно определить n-категории как набор типов Ob, 1-Mor, 2-Mor, ..., n-Mor с операциями и аксиомами — я не уверен сходу что даже примерно писать чисто синтетически, как я это набрасывал для 1-категорий выше (ждем пока кто-нибудь не совершит ключевой прорыв и создаст окончательный вариант HoTT, потом будем разбираться), но они имеют столь же естественное/самоочевидное и красивое определение в терминах n-кратных полных пространств Сигала, как и 1-категории. Итак,
Объект, который традиционно называют «(∞, n)-категория» следует воспринимать и называть (просто) n-категориями.
А «(k, n)-категории», восстанавливаются как его частные случаи — это просто те n-категории, в которых n-Hom-ы (типы n-морфизмов для любой параллельной пары (n-1)-морфизмов) (k-n)-усечены. В частности, тип объектов n-усечен.
Такова естественная картина теории категорий (к слову, одним из пионеров, наиболее опередивших время в этом виденье, был Кан, как это описывается в ведении замечательной книжки Цизинского). Но в этом курсе мы сосредоточимся только на 1-усеченной теории 1-категорий — частном случае, содержащемся все ростке общности и, являющемся (в нынешним изложении), пререквезитом к общей теории категорий (о которой будем говорить летом).
Мне представляется, что именно по последней причине на протяжении значительной части 20 века математическое сообщество (в подавляющем большинстве) было ещё совершенно не готово понять и принять очевидное сейчас следствие структурализма. Для совершения такого прыжка, нужно было накопить достаточного много систематического понимания реальности, выстроить прочные слова, идеи, в которых можно описывать, представлять (и т.о. рассмотреть как возможное) место, в которое ты прыгаешь. Иначе даже задуматься о том, что покинуть привычный шаблон мышления, было невозможно — такую длинную мысль не угадать.
Позже, к концу 20-го века, изложенный выше язык уже четко существовал в умах специалистов (особенную роль в этом сыграли Кан, Квиллен, Гротендик, Жойяль), но он оставался в основном покрыт белыми пятнами и потому все ещё не покидал высококатегорного комьюнити. Все изменилось в 2006 году, когда молодой математик, Джейкоб Лури, опубликовал 700 страничную Higher Topos Theory, которая, вопреки названию, в основном содержала подробное изложение теории 1-категорий.
All of this was a dream. Lurie made it a reality
(c) Tim Capmion
Я очень рекомендую полностью прочитать замечательный ответ Тима по ссылке, включая цитату Кларка Барвика в нем.