Итак,

Равенство (или изоморфизм) группоидов — это обратимая функция f: A → B. То есть, f т.ч. просто существует g: B → A т.ч. fg = id_A и gf = id_B.

(
Классический термин для понятия изоморфизма в 2-контексте «эквивалентность», а «изоморфизм» было принято использовать для таких f, у которых существует обратный в строгом смысле теоретико-множественной кодировки (т.е. буквально биекция носителей, сохраняющая операции). Но т.к. такого рода ассемблерские идеи не имеют самостоятельного математического содержания, мы используем далее слово изоморфизм в его современном едином смысле — обратимый морфим — безотносительно того, о каких объектах идет речь.
)

Так ясно, что группоиды — не образуют группоид, потому что их равенства A = B сами являются группоидами, а не множествами (как это было у группоидов).

Совокупности группоидов, категорий, моноидальных категорий и т.п. — фундаментально 2-группоиды.

И так далее, каждое понятие n-группоида ведет к следующему, которое вбирает в себя все предыдущие. Действительно же стабильным фундаментальным концептом, неподвижной точкой это процесса, оказывается понятие ∞-группоида. Собственно, эта идея была непосредственно заложена в исходном центральном мотиве структурализма: раз равенства — это дополнительные данные, т.е. это такие же объекты как и все остальные, то значит, вообще говоря, есть равенства между равенствами и т.д. до бесконечности.

И каждое следующее понятие все сложнее описывается в стиле набора данных Ob, Mor, id, dom, cod, ∘ с аксиомами, потому что все аксиомы нужно понимать с точностью до равенств на следующих уровнях. То есть ∞-группоид в таких терминах это что-то вроде:

0. Последовательность множеств Ob, Isom, 2-Isom, 3-Isom, ...
1. Функции множеств dom, cod, ∘, id, inv — на всех уровнях
2. Равенства, связывающие эти функции (такие как associativity: (f ∘g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h))
3. Равенства связывающие эти равенства (такие как pentagon: l = r, где l, r: ((f ∘g) ∘ h) ∘ i = f ∘ (g ∘ (h ∘ i)) два, возникающих из associativity, равенства таких выражений / два способа перенести все скобки)
... and so on to infinity...

Явно выписать все эти равенства — сложно, а работать с таким объектом было бы невозмо.. ещё сложнее. Сегодня, вместо этого, мы знаем очень простое, компактное, эффективное и интуитивное определение категории ∞-группоидов — это локализация симплициальных множеств в некотором классе морфизмов (так называемых слабых эквивалентностях) sSet[W^{-1}]. А n-группоиды — представляются простым понятием (n+1)-коскелетонного симплициального множества. (Об этом всем я подробно буду рассказывать летом).

Но так или иначе речь здесь идет о кодировании ∞-группоидов на множествах, как на фундаментальном понятии. Более естественно было бы найти исходно язык, аксиоматизирующий идею/интуицию ∞-группоида как фундаментального понятия, так же как теоретико-множественные основания (такие как ZFC или скорее ETCS) исходно аксиоматизируют нашу интуицию о том что такое множество (а не определяют его как производное от чего-то понятие).

Область математики, в которой люди пытаются это сделать, называется гомотопическая теория типов. Её основания были сложены в 2009-2013 под влиянием множества умов и их усилиям была написана легендарная HoTT Book. Я очень рекомендую её к чтению. При первом чтении мне показалось из неё непростым четко понять сам каркас языка (то что называется теория типов Мартина-Лефа), он намного яснее по-моему выписан в другой молодой книжке, в этом плане может быть лучше начать с неё. Но в остальном HoTT Book написана просто замечательно: просмотрите основы I.1-4, читая только интересные места, а затем переходите сразу к «II.9 теория категория», чтобы понять смысл / увидеть язык в действии.