О множестве Ob C имеет смысл думать как о термах / представлениях объектов группоида. Взгляните, например, на группоид N, содержащий всевозможные формулы (в некотором синтаксисе), задающие натуральные числа, и хранящий между некоторыми ровно по паре обратных стрелок — их равенства. Так же и элементы в Ob Set, Ob Ring, Ob Top — это термы/конкретные представления/формулы, которые связаны равенствами, только их равенства не уникальны.

Собственно, множества — это в точности тонкие группоиды, то есть те, в которых все множества (A = B) := { f : Mor | dom f = A, cod f = B} не более чем одноэлементны, как в примере с N выше (

Здесь и далее «a : A» это, во-первых, просто свободная от material set theory ассоциаций формально синонимичная нотация для «a ∊ A». То есть вместо того, чтобы думать об a и A как заранее определенных объектах и читать «a ∊ A» как условие на них "если a ∊ A, то ..." (как это и происходит в принятых теоретико-множественных основаниях), мы думаем об «a : A» как «для a из A», «для a имеющего тип A» — т.е. a возникает только в этот момент и не существует в отрыве от A (в частности, эта нотация подталкивает не спрашивать в каких ещё множествах a лежит, соответствуя духу structural set theory). А, во-вторых, та же нотация также непосредственно используется и для группоидов «X : Set», «G : Group», «R : Ring», где она уже транслируется в теоретико-множественный язык как a ∊ Ob C.

). И действительно тот факт, что равенство новых наполняющих математику объектов не было бинарным отношением выражался в точности в том, что в отличие от чисел, эти объекты имели симметрии (автоморфизмы т.е. равенства с самим собой).

Итак,
* совокупности чисел, строк, функций и т.п. — фундаментально множества (= тонкие группоиды)
* совокупности множеств, колец, пространств и т.п. — фундаментально группоиды
* совокупности группоидов, категорий, моноидальных категорий и т.п. — ?

Каково содержательное понятие равенства для группоидов? Чтобы понять значение слов "обратимое преобразование", нужно понять что такое функции между группоидами.

Для данных (представлений) группоидов A, B естественно назвать функцией между ними отображения носителей (Ob, Mor), сохраняющие все операции. Это имеет прямой математический смысл: имена отправляются в имена и равенства, их связывающие, a: x = y отправляются в равенства, связывающие образы f(a): f(x) = f(y). Классически это ещё называется «функтором» или «гомоморфизмом» группоидов, но мне больше нравится молодой термин «функция» здесь, потому что он подчеркивает отсутствие дополнительной структуры, тот же дух понятия, что и у множества.

Звуки из космоса: частью определения понятия является определение его равенства. Что такое равенство функций? Для f, g: A → B, естественно ожидать, что

f = g <=> для каждого a : A, f(a) = g(a)

То есть для каждого a : A задано равенство x_a: f(a) = g(a). То есть справа задана функция из A в... группоид равенств в B

Ob B^I = Mor B
Mor B^I = коммутативные квадраты в B

Легко видеть, что это единственное естественное определение группоида равенств B^I, в виду ожидаемой биекции каррирования-декаррирования Hom(A x I, B) = Hom(A, B^I). Здесь I — эссенция изоморфизма, группоид с 2 объектами и изоморфизмом между ними.

В теории категорий, естественное обобщение этого понятия известно как естественное преобразование — это функтор A x Δ^1 → B (или A → B^{Δ^1}, но тогда вам сначала нужно также дать специальное определение категории справа, а потом убедиться, что оно единственно возможное). Здесь Δ^1 — эссенция морфизма, категория с 2 объектами и 1 морфизмом между ними. Соответственно A x I → B — называются естественные изоморфизмы (упр: это в точности изоморфизмы в категории функторов A → B, с естественными преобразованиями как морфизмами).