Теория категорий появилась в конце второй половины 20 века, во времена, когда в математике бурно формировались и становились ключевым концептом структуры (алгебраические, топологическо-геометрические, аналитические и др.). В предыдущие века, когда основными объектами изучения были функции, уравнения и числа, люди привыкли к понятию равенства как свойства пары объектов, а именно (говоря, в терминах, насколько мне известно, возникших только в 19 веке) некого особенного транзитивного рефлексивного симметричного бинарного отношения. Но для структур (множеств, групп, топ. пространств) такое понятие равенства, хотя и оставалось необходимым для функционирования используемых теоретико-множественных оснований, оказывалось уже их патологией, а не содержательным математическим концептом. Неважно какие именно элементы составляют структуру, важны только отношения между ними. Так центральным мотивом математического структурализма становилось:
Равенство структур — это изоморфизм. Таким образом, равенство — это структура, а не свойство.
Исторически верным является только первое предложение....
Мейнстримом математики ещё десятки лет было факторизовать по изоморфизмам, продолжая запирать равенства объектов в привычном шаблоне бинарного отношения. Но реальность неумолимо просачивались в этот барьер с разных сторон год за годом, пока, наконец (спустя более полувека (!) после таких манифестов структурализма как «Архитектура математики» Бурбаки) в конце 20 - начале 21 века, категорная революция не воплотилась окончательно. Просто завершив исходный центральный мотив структурализма его очевидным следствием, освобождая равенство из плена невидимых кругов 0-мира, в котором прошло младенчество математики.
Итак, было сказано:
Пока числа или функции — это фундаментально множества, сами множества, группы или пространства — это фундаментально группоиды. Их нельзя разделять с изоморфизмами, это их понятие равенства.
До тех пор, пока я не понимал, что объекты категории Ob C -- это всегда группоид (а возможность сказать "множества объектов" / обратиться к множеству Ob C — это лишь артефакт set-based языка), прошел через столько путаницы и деозориентировки в разных вопросах...
* Пара множеств Ob, Mor
* с операциями dom, cod: Mor → Ob, id: Ob → Mor, ∘: Mor x_{Ob} Mor → Mor, (тут Mor x_{Ob} Mor — это, конечно, пулбэк cod: Mor -> Ob <- Mor: dom т.е. множество пар (f, g) т.ч. cod f = dom g)
* c естественными аксиомами-тождествами (dom и cod композиции ∘ и id, ассоциативность ∘, двухсторонняя нейтральность id)
— это представление категории на языке множеств. Как и любое представление, оно хранит лишние данные, которые не существуют для представляемого объекта.
Ни из категории, ни из группоида (
Группоид — это категория, в которой все морфизмы обратимы.
Но оказывается условия существования "для каждого f существует обратный g" по умолчанию естественнее понимать как дополнительные данные — я буду раскрывать грани этого тезиса далее (собственно прямо сейчас мы обсуждаем его в случае понятия равенства). Так, чтобы отличать "существование как данные" от "(всего лишь) факта существования", используется соответственно терминология "существует / ∃" и "просто существует / [∃]"
Так, по определению, группоид — это категория, снабженная функцией ^{-1}: Mor -> Mor возвращающей обратный морфизм к данному dom f^{-1} = cod f, cod f^{-1} = dom f, f ∘ f^{-1}= id_{dom f}, f^{-1} ∘ f = id_{cod f}. В данном случае и данном контексте, в виду уникальности обратного, по принципу уникального выбора / понимания функций, эти понятия равносильны.
) нельзя извлечь множество Ob C.