Категории математических структур

Понятие категории мотивировано тем, что все математические структуры естественным образом формируют категории. Но при этом
(A) Реальные категории математических структур обладают многими хорошими свойствами (скажем, биполнота) сильно отличающими их от произвольных категорий (когда это не так, рядом всегда скрывается либо более правильное понятие, либо более правильный сеттинг).
(B) В произвольной плохой категории теория категорий "не работает", нет продуктивных понятий, категорная точка зрения мало что помогает понять (примеры относительно безнадежных: категория гомотопических типов, категория гладких многообразий).

Каково формальное понятие категорий математических структур, то есть категорий внутри которых мы хотим работать? (в отличие от, например, категорий, которые хотим использовать как индексации диаграмм и тому подобное – от которых мы не ожидаем духа математически структур (и часто вообще думаем как о бездушных точках и стрелочках)). С ноября у меня начали складываться пазлы убеждающие в том, что, по-видимому, несомненный ответ: локально представимые категории
1. LP категории включают все топосы Гротендика, в частности, алгебраические, голоморфные, гладкие пространства и прочие категории пространств всевозможных ароматов. Также, в частности, сюда попадают симплициальные множества sSet, как и все остальные топосы симплициальных пучков.
2. Категории алгебр над всеми монадами (удовлетворяющими определенному естественному свойству ограниченности) на LP категориях являются LP.
2a) В частности, LP категории включают все алгебраические категории (любой бесконечной, но ограниченной арности) над всеми топосами Гротендика (в частности, все обычные алгебраические категории как случай нашего терминального топос Set)).
2b) В частности, рефлективная подкатегория (удовлетворяющая естественному свойству ограниченности) LP категории является LP (например, категория банаховых пространств является LP, как рефлексивная подкатегория некоторой счетно-арной категории алгебр).
3. LP категории обладают множеством категорных совершенств, таких как биполнота, идеальная теорема о сопряженном функторе, разумное поведение mono-epi морфизмов, правых-левых ортогональных классов и многое другое. В частности, многие из этих свойств настолько витальны для теории гомотопий, что (насколько я понимаю) люди почти всегда работают с комбинаторными модельными категориями (= кофибрантно порожденными и LP).

Итак, что такое локально представимая категория?

Вот синтаксическое определение.

Классическое понятие алгебраической теории из универсальной алгебры имеет естественное обобщение, в которым операции не обязаны быть тотальными, но их области определения контролируются равенствами других операций. Например, таково определение категорий Cat:
* носители: Ob, Mor
* операции: dom, cod: Mor -> Ob, id: Ob -> Mor, ◌: Mor x_{Ob} Mor -> Mor
* аксиомы: (понятно)
Здесь область определения операция композиции описывается на Mor x Mor равенством cod(pr_1) = dom(pr_) (что можно в некотором пока неясном смысле рассматривать также как пулбек Mor -> Ob <- Mor). Так же как естественная область интерпретации алгебраических теорий --- категории с произведениями (носители рассматриваются как объекты, операции как морфизмы, аксиомы как коммутативности соответствующих диаграмм), естественная область интерпретации существенно алгебраических теорий --- категории с пределами. Равенства, описывающие область определения операций, интерпретируются как уравнители (соответствующая операция действуют из полученного объекта). Через T[C] я обозначаю категорию T-объектов в C. T[Set] называется категорией алгебр теории T.