Минимаксные задачи

23 июня в 11 часов (по Москве) состоится четвертый (заключительный) вебинар мини-курса по экстремальным задачам в алгебре: Минимаксные задачи.

Это чрезвычайно популярная тема, неизменно присутствующая на олимпиадах и ДВИ. Речь идет о нестандартных уравнениях и неравенствах, которые зачастую имеют настолько «жутковатый» вид, что при первом взгляде на задачу не очень понятно, что тут вообще делать. Это может быть, например, уравнение с нагромождением радикалов и/или модулей, или уравнение с двумя неизвестными, или система двух уравнений с тремя неизвестными…

Но если сразу становится ясно, что в уравнении A = B стандартные методы не работают, то это и хорошо — значит, бросаем все силы на поиск задумки автора! И вот находка: удается показать, например, что всегда выполнено A >= 3 и одновременно B <= 3. Ну а коли так, то в нашем уравнении равенство может достигаться в том единственном случае, когда А = 3 и B = 3 одновременно. Всё! Последние два уравнения сложности уже не представляют.

В нашем примере число 3 оказалось минимумом для А и максимумом для В. Вот почему мы называем такие задачи минимаксными.

Вот листок с задачами для вебинара. Мы рассмотрим три главных идеи минимаксных задач в алгебре.

1. Выделение полного квадрата. Обсудим уравнения, в которых работает идея вроде 5 + A^2 >= 5.
2. Неравенство Коши. И сюда оно проникло!
3. Если видим несколько модулей и/или сложные выражения под модулем, то стоит подумать в сторону неравенства |A| + |B| >= |A + B| >= A + B.

Первые два вебинара нашего курса Экстремальная алгебра (Квадратичные неравенства и Неравенство Коши) можно посмотреть в записи. Третий вебинар (Неравенство КБШ и лемма Титу) — сегодня в 11:00 (Мск).