сладко стянул

https://arxiv.org/pdf/2409.18380
обзор "Укрощая большие категории" от Каледина (про то, как перестать бояться \kappa-достижимых категорий)

"This paper is dedicated to Sasha Anan'in <...> [and] is a chapter of a general textbook on category theory that we hoped to write together, at some time, somewhere, in some other life"

"...Summarizing, one can phrase the moral of the story as follows: a category is «tame» if its Karoubi closure is accessible, and all categories that appear «in nature» are tame. The necessity of taking Karoubi closures is slightly unpleasant <...> but this is a relatively small price to pay."

Кстати, у них вот такая симпатичная теорема 5.2, как приложение класса Берштейна:

Если f:M->N — отображение замкнутых ориентированных многообразий степени 1, и π_1(M) — свободная группа, то π_1(N) — тоже свободная группа

Пусть (X,*) — пространство с отмеченной точкой.
Толстый букет — это FW_n(X) = {(x1,...,xn) in X^n: xi=* для некоторого i}.
Имеем корасслоение
FW_n(X) -> X^n -> X∧...∧X.

Пишут cat(X) < n ("категория Люстерника—Шнирельмана пространства X меньше, чем n"), если диагональное вложение
X -Δ-> X^n
гомотопически пропускается через FW_n(X).

Ещё cup(X) ≤ cat(X), где cup(X) — длина наибольшего нетривиального произведения в когомологиях (в сильном смысле: с какими-либо коэффициентами). Например, если есть ненулевое произведение двух сомножителей, то cat(X)>1.

Пусть X n-мерно и (k-1)-связно. Из клеточной аппроксимации, cat(X) ≤ n/k. Первое препятствие выражается через фундаментальный класс X в когомологиях, поэтому вот что получается:
Теорема (Берштейн'76/Шварц'62) Если dim(X) = n и cup(X) < n/k, то cat(X) < n/k. (При n=2, k=1 это на самом деле Дранишников, Рудяк)

Обычно cup(X) ≤ cat(X) доказывают, используя определение cat(X) через покрытия (см. задачу 7а например), но можно и чуть по-другому. Вспомним гомотопическое определение умножения:
H^n(X;G)= [X, K(G,n)], а умножение
H^n(X;G1) ⊗ H^m(X;G2) -> H^{n+m}(X; G1⊗G2)
индуцировано отображением
K(G1,n)∧K(G2,m) -> K(G1⊗G2, n+m)
которое убивает старшие гомотопические группы. Поэтому cup(X) — это более-менее о том, тривиально ли отображение
X -Δ-> X^n -> X∧...∧X
на каких-либо когомологиях.

Следовательно, cup(X) ≤ wcat(X), где wcat — дебильная слабая версия LS-категория: пишут wcat(X) < n, если композиция X -Δ-> X^n -> X∧...∧X гомотопически тривиальна

P.S. Это поэтому умножение в когомологиях ко-H-пространств тривиально (X допускает такую структуру iff cat(X)<2)

в связи с новостями про кражу новье-стокса, хотела поделиться и новостями про потенциальную кражу якобиана

подробнее о законе сохранения уток см. Предложение 2.3 в https://www.mathnet.ru/rus/rm2266

Вообще нестандартные методы в качественной теории дифференциальных уравнений — это отдельная большая тема.
Решения дифференциальных уравнений вида ax''+f(x', x) = 0, где a мало, могут иметь вид, показанный на картинке. Сформулировать этот вид на языке стандартного анализа не получается. Но если a — бесконечно малое гипервещественное число, то понятно, что происходит: соответствующее решение дифференциального уравнения — это внутренняя функция, которая бесконечно близка с стандартной непрерывной функции везде, кроме дискретного множества бесконечно малых интервалов. А на этих бесконечно малых интервалах можно сделать увеличить масштаб в 1/a раз, и там получится своё дифференциальное уравнение.
Обо всём этом можно начать узнавать по статье Пьера Картье: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=2267&option_lang=rus

#чёпочитать
45 лет назад: обзорный доклад Пьера Картье на семинаре Бурбаки про нестандартный анализ в диффурах. Буквально 1984. В гости к Робинсонам. Ключевые термины для привлечения внимания: ореол, галактика, тень, микроскоп, утка

5. Вместо PS: в обзоре https://arxiv.org/abs/1812.03319 по классическим инвариантам Милнора утверждается, что неизвестны их полноценные многомерные аналоги (см. 4.2). Вдруг так что-то можно придумать? не знаю

4. Возвращаемся к простому. Это всё стартует с простой геометрической конструкции (с отображения a_n). Понял сейчас (послушав доклад Хорошкина), что её можно обобщить примерно так. Может, это уже изучается, а может идея и свежая.

Пусть Г — простой граф на n вершинах. Рассмотрим хроматическое конфигурационное пространство
Conf_Г(X) := {(x1,...,xn) ∈ X^n | x_i ≠ x_j для всех рёбер (i,j) графа Г}.
[Этим пространствам и связанным структурам посвящена вторая половина обзора Каллела https://arxiv.org/abs/2407.11092
а ещё недавняя статья Лыскова и Хорошкина, https://arxiv.org/abs/2509.21255 . Эта серия постов появилась, когда я задумался, "зачем эти пространства могут кому-то пригодиться"]

Например, если Г=K_n — полный граф, то Conf_Г(X) = Conf_n(X). А несвязное объединение переходит в произведение.

Что можно с помощью них изучать?

Рассмотрим, например, пространство
A={f: X ⊔ Y -> Z| f(X) и f(Y) не пересекаются}.
В теории узлов, например, изучаются "зацепления с точностью до узлов" — этому посвящена первая статья Милнора; вот тут какое-то далёкое обобщение.

Можно взять n точек в X, m точек в Y, и с помощью f изготовить из них n+m точек в Z. Более того, точки из X не попадут в точки из Y: так получается отображение
X^n x Y^m -> Conf_{K(m,n)}(Z),
где K(n,m) — полный двудольный граф на n+m вершинах.

Получаем (S_n×S_m-эквивариантную) стрелку
A -> Map(X^n x Y^m, Conf_{K(n,m)}(Z)).

Возможно, из таких стрелок (взятым по всевозможным n и m) можно изготовить что-то похожее на красивую науку как выше.

Ещё пример: можно изучать
B = {f: X ⊔ Y -> Z | f(X) и f(Y) не пересекаются, а X -> Z — вложение}.
Аналогично, получаем стрелки вида
B -> Map(Conf_n(X) x Y^m, Conf_Г(Z)),
где Г — объединение K(n,m) с полным графом на n вершинах.

Кстати, этот граф Г хордовый (любой цикл разбивается на треугольники), поэтому Conf_Г(Z) устроены несколько проще, чем в общем случае...

Как это можно обобщать на >2 компонент — думаю, понятно.

3. Сейчас этот подход развивают вот каким образом. Очень грубо, потому что я о другом хочу рассказать.

Если X — d-мерное многообразие, то Conf_n(X) гомотопически эквивалентно своей "канонической компактификации по Фултону—Макферсону", Conf_n[X]. Если X вдобавок параллелизуемо, то набор пространств Conf[X]:={Conf_n[X]: n ≥ 0} является модулем над операдой Фултона—Макферсона FM_d = Conf[R^d].
(Совсем неформально, геометрия тут такая: точку в X можно заменить на маленький диск, интерпретировать его как копию R^d, и засунуть туда конфигурацию точек в R^d. Так можно из n точек в X и m точек в R^d изготовить n+m-1 точек в X. Точнее, можно из n точек в X, m_1 точек в R^d, ..., и m_n точек в R^d изготовить (m_1+...+m_n) точек в X. Это и есть действие операды.) (В непараллелизуемом случае надо рассматривать оснащенную версию либо Conf[X], либо Conf[R^d], чтобы "знать, под каким углом подставлять")

Так вот, отображения a_n: Emb(X,Y) -> Map(Conf_n[X], Conf_n[Y]) согласованы с этой конструкцией. Возникает, грубо говоря, стрелка

Emb(X,Y) -> Map_{FM-mod} (Conf[X], Conf[Y])

в "пространство наборов отображений Conf_n[X] -> Conf_n[Y], согласованных с действием операды".

Хорошая новость: если всё правильно определить, при некоторых предположениях эта стрелка — слабая гомотопическая эквивалентность. (Это "сходимость башни Вайсса" —- сложный результат Гудвилли и Клейна). К сожалению, к классической задаче "классифицировать все узлы" этот результат не применим, но зато применим к некоторым многомерным узлам. Например, к изучению гомотопического типа Emb(S^1,S^n) при n>3. Правда, эти пространства уже связны

Почему это хорошая новость? Потому что гомотопические свойства пространств вложений — сложнейшая благородная задача. А гомотопические свойства конфигурационных пространств и пространств отображений можно как-то изучать. Например, рациональные гомотопические типы пространств отображений моделируются элементами Маурера—Картана для dg-алгебр Ли, которые моделируют наши пространства... Короче, в благоприятных случаях можно "описать алгебраически" рациональные гомотопические типы компонент связности пространств Emb(X,Y). Ссылки для устрашения: https://arxiv.org/abs/2008.08146 (см. формулу (5)) и https://arxiv.org/abs/1204.0501

2. На самом деле тут есть дополнительная структура. Например, отображение f_n уважает действие симметрической группы, так что можно уточнить: a_n бьёт в пространство эквивариантных отображений Map_{S_n}(Conf_n(X),Conf_n(Y)). Это содержательный инвариант уже при n=2. Например, вот что известно:

Теорема (Хефлигер). Если X — гладкое замкнутое многообразие, то отображение
π_0(Emb(X,R^m)) -> π_0(Map_{S_2}(Conf_2(X), Conf_2(R^m)))
— биекция, если dim(X) < 2m/3 - 1.

То есть, в метастабильном диапазоне m/2 < dim(X) < 2m/3-1 отображение a_2 позволяет классифицировать вложения с точностью до изотопии! (в стабильном диапазоне dim(X)<m/2 все вложения изотопны.)

Правда, чтобы их полностью описать — надо вычислить [Conf_2(X),Conf_2(R^m)]_{S_2} — множество S_2-эквивариантных отображений Conf_2(X) -> Conf_2(R^m) с точностью до S_2-эквивариантных гомотопий. Справа стоит, с точностью до гомотопии, S^{m-1} с антиподальным действием, — но вычисление все равно совсем не простое. (Я даже не знаю, насколько непростое, — но хочу как-нибудь изучить.)

Пуантилизм и разноцветное

Если совсем-совсем грубо, то embedding calculus основан на идеях "пуантилизма": пространство аппроксимируется своими конечными подмножествами. (Причём совсем не так, как в топологическом анализе данных; не знаю, хорошо это или плохо)

1. Мы хотим изучить пространство Emb(X,Y) вложений топологического пространства X в топологическое пространство Y. Точнее, гомотопический тип пространства Emb(X,Y). Действительно: π_0(Emb(X,Y)) — это множество вложений с точностью до изотопии. Например, в теории узлов изучают π_0(Emb(S^1,S^3))...

Идея тут такая: использовать, что пространства Map(C,D)={непрерывные отображения C->D} изучать проще. Рассмотрим конфигурационные пространства Conf_n(X) := {(x1,..,xn) ∈ X^n | x_i ≠ x_j для всех i≠j}.

Если X->Y инъективно, то набор различных точек в X переходит в набор различных точек в Y, и получается отображение f_n:Conf_n(X) -> Conf_n(Y). То есть, возникает

a_n: Emb(X,Y) -> Map(Conf_n(X), Conf_n(Y)).

Оно непрерывно, поэтому так можно распознавать неизотопные вложения: если a_n(f) и a_n(g) в разных компонентах связности, то [f] ≠ [g] ∈ π_0(Emb(X,Y))

...Уже сейчас можно представить, что некоторые из наиболее привлекательных областей математики трансформируются в заповедники, где богатые люди смогут по высокой цене приобрести удовольствие охоты за одной-двумя теоремами, руководствуясь научными егерями.

из статьи В.И. Арнольда "Полиматематика"

(via воспоминания математиков)

слайды я пока не смотрел. давайте тоже выдам чёто про ИИ в математике (и больше к этой теме постараюсь не возвращаться — и так везде обсуждают).

в-нулевых, я нейросетями всерьез не пользуюсь (в т.ч. потому что боюсь выработать толерантность к буллшиту (см. также)). это старомодная и во многом иррациональная позиция, но последствия меня ещё не коснулись. скоро коснутся.

во-первых, сейчас я всё-таки занимаю ксенофобскую позицию, что учёные (т.е. носители знания, то есть агенты ноосферы) — это только люди. следовательно, читайте Тёрстона, у него всё написано: получать ответы на вопросы, генерировать теоремы — это все равно что распечатывать списки простых чисел. потому что наша цель — это человеческое понимание.

во-вторых, это не навсегда. потому что измерить чьё-то понимание можно только пообщавшись с ним, а с нейросетями можно общаться. поэтому совокупность их знаний тоже надо учитывать; это как если бы дроиды колонизировали и контролировали часть Марса. можно не считать их цивилизацией, но территорию они контролируют.

в-третьих, разница между дроидами и людьми в том, что мы сомневаемся в том, насколько у дроидов правильная этика. она либо запрограммированная (т.е. топорная), либо получена в результате обучения (т.е. чёрный ящик для нас, это непредсказуемо). А этика для реалистически настроенных людей это очень важно.

Аналогично, для идеалистически настроенных людей очень важна эстетика. И мы аналогичным образом сомневаемся, что у нейросетевых моделей (будут) правильные эстетические воззрения (когда они выбирают, какие теоремы доказывать и как записывают доказательства). Короче, разгон такой: к ним следует относиться не как к "нерадивым аспирантам" (или какое там стандартное сравнение?), а как к аналогу психопатов среди обычных людей.

в-четвертых, в людях мы (почему-то) меньше сомневаемся: сейчас оправданно, а со временем это (возможно) будет считаться бытовой ксенофобией. посмотрим

(из комментов к https://t.me/tropicalgeometry/1159 )

Интересная идея, но я думаю лучше исходить из слайдов Т.Тао:

что мы хотим от людей с math PhD? Хотим proof digestion. Тогда за это и надо давать PhD

легенды дизайна кстати
https://erlagol.ru/arhiv/