Но всё-таки стояла задача доказать математически, что вероятность действительно мала. Здесь можно предложить много разных математических моделей и поставить разные вопросы, и они были поставлены, но среди этого множества направлений исследований есть и такое.

Возьмём снова бильярдные шары, только, как я написал раньше, идеализированные, без потерь энергии, так как прорыв осуществлён как раз для них. Можно описывать их динамику на разных уровнях подробности. Самый подробный уровень - это микроскопическое описание: описание каждого отдельного шара. Вот у нас есть, допустим, 100 шаров, а то и ещё больше. Мы знаем, что между столкновениями они движутся равномерно и прямолинейно, а когда равномерное прямолинейное движение приводит к соприкосновению шаров друг с другом или со стенкой, то они меняют скорости мгновенно по закону упругого соударения. Вот это и есть микроскопическое описание. Вот на этом уровне нет необратимого времени: любой процесс может протекать в обе стороны. Достаточно просто развернуть направления движения шаров, и всё пойдёт в обратную сторону.

Но когда шаров много (а мы, говоря о шарах, имеем в виду всё-таки газы из огромного количества молекул), то такое описание становится очень сложным. Следующий уровень - это так называемое кинетическое описание, уравнение Больцмана. Здесь мы не описываем каждый шар в отдельности, а записываем, сколько шаров находится примерно в таком-то месте и движется примерно с такой-то скоростью в таком-то направлении. То есть разбиваем наше пространство на клеточки, а также пространство скоростей разбиваем на клеточки и подсчитываем, сколько шаров в каждой клеточке. А дальше описываем, как бухгалтера, баланс: сколько шаров в эту единицу времени покинуло эту клетку и в какую клетку переместилось. Это описание уже статистическое, т.е. не занимается траекторией каждого шара, а описывает их коллективно. Вот на уровне этого уравнения уже появляется необратимость и возрастание энтропии: возможные, но низковероятные процессы это уравнение не учитывает.

А последний уровень - это уже гидродинамическое описание, когда шары можно описывать как жидкость, в терминах течений. Но для этого их нужно очень большое количество, конечно. Для бильярда, знакомого нам, с не очень большим числом шаров кинетическое описание с натяжками, наверное, возможно, а гидродинамическое точно нет. Гидродинамика тоже необратима по времени: есть вязкость, трение.