Задача с собеседования на Junior аналитика в Т-банк

Ранее мы писали про то как проходит отбор в желтый банк. Сегодня продолжаем серию постов про реальные задачки с интервью, разберём легкую задачу с собеседования

Условие
Королевство смурфиков очень традиционное. В нем всегда образуются пары из мужчин-смурфиков и женщин-смурфиков и они живут вместе до конца жизни. Каждая пара рожает до тех пор, пока не родится девочка. После этого они не заводят детей. Какое распределение полов в королевстве?

Решение
1) Матожидание количества девочек: по условию задачи в каждой семье ровно одна девочка
E[числа девочек]  = 1

2) Матожидание количества мальчиков:
Вероятность того, что родится девочка p = 1/2

Посчитаем вероятность того, что родится k мальчиков:
P(число мальчиков = k) = (1 - p)^k * p, k = 0, 1, 2, ....

Тогда матожидание числа мальчиков по определению:
E[числа мальчиков] = (от k = 0 до ∞) Σk*P(число мальчиков = k) = (от k = 0 до ∞) Σk * (1 - p)^k * p

Распишем чему равен ряд: S = (от k = 0 до ∞) Σk * q^k
Первый член нулевой, значит S = (от k = 1 до ∞) Σk * q^k

qS = (от k = 1 до ∞) Σk * q^{k + 1} = (от k = 2 до ∞) Σ (k - 1) * q^k

S - qS = (от k = 1 до ∞) Σk * q^k - (от k = 2 до ∞) Σ (k - 1) * q^k = 1 * q + (от k = 2 до ∞) Σ [k - (k - 1)] * q^k = q + (от k = 2 до ∞) Σ q^k = (от k = 1 до ∞) Σ q^k = q / (1 - q)

S = q / (1 - q)^2

E[числа мальчиков] = p * (1 - p)/p^2 = (1 - p)/p = 1

————————————————————————
В среднем на каждую семью 1 девочка и 1 мальчик. Если в королевстве тысячи семей, то по закону больших чисел средние значения складываются, поэтому во всем королевстве остаётся такое же соотношение:
мальчики : девочкам = 1 : 1

@ProdAnalysis