1️⃣ В первой части решения будем анализировать только левую часть мобиля. Начнем с простого — самого нижнего подвеса, из равновесия которого нетрудно заключить, что F = 2D.
Заметим, что у нас есть одна большая горизонтальная балка сверху (вес которой, разумеется, никак не может повлиять на решение), а также несколько одинаковых между собой балок поменьше. Будем для краткости обозначать их вес просто X. Тогда из нижней части левой половины можем заключить, что B + F = X+ 2D + F. Упрощая это выражение, получим B = X+ 2D, а учитывая то, что 2D = F, получаем B = X + F.
Далее, искомая # = 2X + 2F + 2D + B = 2(X+F) + 2D + B = 2B + 2D + B = 3B + 2D.
Теперь финальное соотношение для всей левой части:
B + 2E = 3X + # + B + 2F + 2D.
Упрощаем:
2E = 3X + 3F + # = 3(X+F) + # = 3B + 3B + F = 6B + F = 6B + 2D
E = 3B + D
Тогда # = 3B + 2D = E + D.
Здесь можно было бы и закончить решение, так как нам удалось корректно заменить # всего двумя грузами! Меньшим количеством — то есть одним — в этой задаче, конечно, не обойтись.
В то же время, специально для наших читателей, подробно проанализируем вторую (правую) половину мобиля.
2️⃣ Сперва заметим, что C = A + 3D. Далее:
3A + D + 2F = X + A + 3D + C => 2A + 2F = X + 2D + C
▶️Подставим C: 2A + 2F = X + 2D + A + 3D
Упрощая, получаем: A + 2F = X + 5D
▶️Подставим F: A + 4D = X + 5D откуда A = X + D => C = A + 3D = X + 4D.
И финальное соотношение на всю правую часть:
A + 5C = 2X + 4A + 4D + 2F + C => 4C = 2X + 3A + 4D + 2F
Подставим C, A и F через X и D: 4X + 16D = 2X + 3X + 3D + 4D + 4D.
Упрощая, получаем X = 5D.
Таким образом, мы получили следующие соотношения:
F = 2D
X = 5D
A = X + D = 6D
B = X + F = 5D + 2D = 7D
C = X + 4D = 9D
E = 3B + D = 21D + D = 22D
Нам удалось выразить все веса грузов через вес D. Найденный нами в первой части решения вес # = E + D = 23D. Из расположения в порядке возрастания веса можно увидеть, что оптимальная замена его имеющимися весами будет именно такой, какую мы и нашли выше ⚡️
#задача