Можно заметить, что оба числа должны быть кратны 3. Также числа должны иметь разную чётность, причём то, которое чётное, должно делиться сразу на 4.
После этого перебор уже элементарен и даёт нам с точностью до знаков и перестановки местами пары значений 0 и 45 или 27 и 36. Тем самым всего 12 решений.
Можно было решить и чуть иначе, если заметить, что 2025 = 45². А значит, кроме тривиальных решений, остаётся проверить пифагоровы тройки с точностью до знаков. Собственно, 27, 36 и 45 — это просто масштабированный египетский треугольник.
А теперь расскажем немного о числе 2025, перед тем как уйти в новый 2026-й:
👟
👟2️⃣
👟
Как мы уже знаем, 2025 — это полный квадрат числа 45, при этом 45 можно представить как (2+0!)² × 5. Заметим, что это первый квадрат после 1936. Но интереснее всего вот что: 2025 = (20 + 25)².
Дело в том, что 45 является числом Капрекара — числом, квадрат которого можно разбить на две части, сумма которых даёт исходное число. В следующий раз такое повторится только в 3025 году, то есть через тысячу лет.
👟
👟0️⃣
👟
Числа, равные сумме первых последовательных натуральных чисел, называют треугольными. Такие, как, например, 45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9. А значит, 2025 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)² является квадратом треугольного числа.
Из предыдущего, согласно тождеству Никомаха, сразу следует, что 2025 является суммой кубов соответствующих чисел: 2025 = 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³.
👟
👟2️⃣
👟
2025 можно записать как сумму двух полных квадратов 2025 = 27² + 36² или даже как сумму трёх полных квадратов 2025 = 40² + 20² + 5².
Но можно пойти ещё дальше, задавшись вопросом: сколько имеется различных k, для которых 2025 можно записать как сумму k различных ненулевых квадратов.
Оказывается 17, причём k принимает все значения от 1 до 17. Более того, 2025 — первое число, которое имеет 17 различных значений k:
2025 = 45²
= 36² + 27²
= 35² + 28² + 4²
= 42² + 16² + 2² + 1²
= 36² + 20² + 18² + 2² + 1²
= 39² + 21² + 7² + 3² + 2² + 1²
= 43² + 11² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 39² + 20² + 7² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 42² + 11² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 30² + 29² + 12² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 40² + 11² + 10² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 38² + 14² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 30² + 22² + 16² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 30² + 20² + 14² + 12² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 25² + 23² + 14² + 13² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 23² + 19² + 17² + 14² + 12² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 23² + 16² + 15² + 14² + 13² + 12² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
👟
👟5️⃣
👟
Если к каждой цифре числа 2025 прибавить единицу, получим число 3136. И оно тоже — полный квадрат! 3136 = 56².
Также 2025 представляется как сумма арифметической прогрессии, более точно — сумма первых 45 нечётных натуральных чисел: 2025 = 1+3+5+7+9+11+…+89.
👟
👟*️⃣
👟
В математике полнократным числом называют положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя. И 2025 — наш клиент, поскольку 2025 = 3⁴×5². Заметим, что в этой записи используются все цифры от 2 до 5.
Можно пойти ещё дальше и сделать 1×3⁴×5², чтобы получить числа от 1 до 5, или даже 1⁶×3⁴×5²×7⁰ для чисел от 0 до 7 (с нечётными возрастающими основаниями и чётными убывающими показателями степени в качестве бонуса!).
А ещё 2025 можно записать как произведение двух полных квадратов, причём двумя способами:
2025 = 3²×15² = 5²×9², причём 5²×9² = (2−0−2−5)² × (2+0+2+5)².
Ну и напоследок — 2025 является числом Харшад. Это числа, которые делятся на сумму своих цифр. Слово Harshad пришло из санскрита: harṣa означает радость, восторг, а da — давать. То есть буквально «дающий радость».
В то же время 2025 является 454-м апокалиптическим числом. Вот и делайте выводы…
А каким числом 2025 год оказался для вас?
❤️🔥 — Прекрасный, несмотря ни на что!
☃️ — Может, лучше уже посмотрим, что там с 2026 — есть какие-то приятные свойства?
#задача