Помните, мы выкладывали подборку математических инструментов? На самом деле каждый сервис из того поста достоин отдельного внимания и сюжетов. И сейчас мы расскажем кое-что любопытное про Desmos.
▶️Рассмотрим в нём график неявно заданной функции xʸ = yˣ
Известно, что этот график лежит в первой четверти и должен выглядеть как объединение части прямой y = x с кривой, напоминающей гиперболу. На деле это, конечно, никакая не гипербола, а отдельная кривая. В русском языке она не имеет собственного названия, а вот в английском используют специальное словечко mutuabola.
Исторически уравнение xʸ = yˣ впервые упоминается в письме Бернулли к Гольдбаху в 1728 году. Там утверждается, что при x ≠ y единственными решениями в натуральных числах являются пары (2, 4) и (4, 2), как на 2-й карточке.
Хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах — например, (27/8, 9/4) и (9/4, 27/8). В ответе Гольдбаха приводится общее решение уравнения, полученное подстановкой y = v·x. Похожее решение позднее нашёл и сам Эйлер.
На первый взгляд — всё скучно, академично и ничего подозрительного, пока не начнёшь зумировать.
Как только вы приближаете картинку примерно до шестого знака после запятой (см. 3-ю карточку), происходит что-то очень странное — появляются шумы, отдельные точки, рваные линии, а если подвигать видимую область, за вами начинает «ходить» странное пятно, как на 4-й карточке. Если бы мы знали, что это такое…
▶️Кто виноват?
Само уравнение ведёт себя вполне прилично: решения известны, непрерывность не нарушается. Проблема возникает из-за численной арифметики:
Desmos написан на JavaScript, а JavaScript использует 64-битные числа в формате IEEE 754. Это означает, что многие десятичные дроби не представимы точно в двоичной форме — их всегда приходится округлять, а при каждом вычислении накапливается ошибка плавающей точки или floating point error.
Обычно эти микроскопические ошибки незаметны. Но при экстремальном зумировании они начинают влиять на изображаемый результат: например, точка (e, e), которая должна лежать на графике, из-за округления соответствующей функции вычисляется «криво», и тогда Desmos решает, что график «прерывается» или что точки вообще нет.
Но это лишь половина истории. Самое интересное припасли на завтра — ведь все что мы написали выше никак не объясняет странное пятно…
Или вы уже в курсе что это?
🤓 — если да
🦄 — если нет, но заинтригованы
🗿 — во всех остальных случаях
#как_устроено