Последовательность чисел Фибоначчи принято обозначать за Fₙ, то есть F₀ = 1 и F₁ = 1, а далее по правилу Fₙ₋₁ + Fₙ = Fₙ₊₁. То есть каждое следующее число является суммой двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
Тогда можно заметить, что каждое слагаемое в представленном разложении числа 1/89 имеет вид Fₙ × 1/10ⁿ⁺², где n — номер слагаемого.
Если записать наши слагаемые с числами Фибоначчи «на хвостах» в столбик, выравнивая по разрядам, то можно видеть, как, начиная с двузначных чисел, они начинают «пересекаться» по разрядам при сложении в столбик:
0,01
0,001
0,0002
0,00003
0,000005
0,0000008
0,00000013
0,000000021
0,0000000034
0,00000000055
0,000000000089
...
------------------
Сумма: 0,011235955...На самом деле, если записать ещё больше слагаемых и честно суммировать, мы увидим, как начнёт «просвечивать» период. На бесконечности мы должны получить следующее число:
0,(011235955056179775280 89887640449438202247191)Здесь скобки означают период, длина которого у числа 1/89 равна… 44!
▶️Покажем теперь, что мы действительно приходим к этому и в теории: