Петя и неподвижная точка

Эту, на первый взгляд шуточную, задачу мы взяли из «Повести о двух фракталах» Кириллова. Подробно писали о книге здесь. В брошюре обстоятельно описана теорема о неподвижной точке, которая понадобится для решения.

🟢Суть теоремы, если сильно упростить, такова: для отображения, уменьшающего расстояние между точками в метрическом пространстве, найдётся единственная точка, которая после применения отображения остаётся на месте. Такая точка называется неподвижной точкой данного отображения.

Чтобы разобраться с задачей, вам также пригодится:
✅ базовое понимание метрик — мы писали о них в этом посте;
✅ видео на канале Саватеева, где он объясняет теорему о неподвижной точке «на пальцах».

Единого отображения в задаче нет, поскольку Петя постоянно и итеративно меняет направление движения. В карточках рассказали, как можно применить теорему в этом контексте.

Дисклеймер: редакции канала пришлось попотеть. Все соображения сформулированы в строгом математическом смысле. Решение рассчитано на людей с устойчивой психикой и сильной академической базой.

А под спойлером — быстрый ответ для тех, кто далёк от метрической геометрии: траектория движения Пети в пределе стремится к треугольнику с вершинами в трёх предельных точках. Петя будет бесконечно «скитаться» между ними.

✅ Ввиду сложности теоретического решения мы добавили также решение-иллюстрацию через программирование. К счастью, «итерационность» движения Пети отлично ложится в код и позволяет наглядно визуализировать его траекторию. Вот ссылка — проверяйте!

#задача