🌀 Помните учёную, которая использовала вязание для демонстрации открытия в топологии? Пробуем объяснить, что она сделала (хотя бы примерно)

Недавно мы рассказывали про Сусанну Хейккиля: учёную, которая совершила открытие в топологии и продемонстрировала результаты с помощью вязания, своего хобби. Нам так понравилась эта история, что мы решили вернуться с небольшим пояснением и попробовать рассказать, с чем вообще связано открытие Хейкилля.

Итак, наглядно изобразить то, что сделала героиня предыдущего поста, практически невозможно. Четырехмерные многообразия, о которых идёт речь в работе Хейккиля, нельзя визуализировать в привычном нам трёхмерном пространстве.

Её вязаная модель показывает, почему плоский диск нельзя аккуратно «натянуть» на сферу, не создав складок или разрезов. Этот факт относится к классическому результату о невозможности изометрического вложения плоскости в сферу. Звучит сложно, потому что так и есть: топология — одна из самых сложных областей математики, и объяснению она поддаётся трудно.

В связи с историей о Хейккиля интересно вспомнить о Джеймсе Александере. Учёный, к слову, происходил из очень влиятельной американской семьи, был миллионером и предерживался чрезвычайно левых взглядов.

А ещё он тоже изучал конструкции вложений в топологии, и две его идеи оставили серьезный след в топологии.

✅Первая идея — так называемый «трюк» Александера.
✅Вторая — знаменитая «дикая» сфера, известная как «рогатая сфера Александера» (кстати, в книге «Математический дивертисмент», которую мы советовали здесь, «дикой сфере» посвящена целая глава).

Пример рогатой сферы показывает, как двумерную поверхность шара можно вложить в трехмерное пространство в виде вот такой страшной конструкции, как на гифке. Эта идея стала переломным моментом для геометрии и топологии в частности: она разрушила наивную геометрическую интуицию и заставила математиков уточнять формулировки.

Этот пример не поможет понять, что именно сделала Хейккиля, но поможет оценить сложность стоявшей перед ней задачи: учёной нужно было классифицировать плоские (двумерные) объекты, которые можно специальным образом (сохраняя необходимые свойства) вложить в многомерное пространство (даже не трёхмерное, а аж четырёхмерное!).

Здорово, что кто-то не просто понимает, как это устроено, а ещё и делает открытия в этой области 🌟

#история