Недавно мы рассказывали про последовательности. Выделяют несколько видов последовательностей, у которых есть полезные свойства. Сегодня расскажем про арифметическую и геометрическую прогрессии.
У них два полезных свойства:
- можно быстро найти любой элемент по его номеру: пятый, десятый, сто двадцатый;
- можно быстро найти сумму любого количества первых элементов.
А в математике всё, что быстро, особенно вдохновляет!

Арифметическая прогрессия
Это последовательность чисел, в которой любые два соседних члена отличаются на одно и то же число.
Например: 1, 3, 5, 7, 9, … — здесь каждое следующее больше предыдущего на 2.
Такую последовательность можно задать двумя числами: первым членом a₁ и разностью прогрессии d. В примере выше a₁ = 1, d = 2.

Другие элементы. С помощью этих двух чисел мы можем посчитать любой элемент прогрессии. Элемент под номером n: aₙ = a₁ + (n-1)*d.
В примере третий элемент: a₃ = 1 + (3-1)*2 = 1 + 4 = 5 — так и есть!
А например, 32-й элемент: a₃₂ = 1 + (32-1)*2 = 1 + 62 = 63.

Сумма первых n членов. Формула выглядит так: Sₙ = (a₁ + aₙ)*n / 2. Элемент aₙ можно найти через первый член и разность, так что всю сумму можно выразить через них:
Sₙ = (2a₁ + (n-1)d)*n / 2.
Все формулы ещё отдельно положим в комметарии ко второй части поста.

Посчитаем сумму первых 32 элементов нашей прогрессии:
1 +3+5+7+…+63 = (2*1 + (32-1)*2)*32 / 2 = 64*32 / 2 = 1024.

Вуаля! Вот так быстро с помощью одной формулы мы посчитали сумму 32 чисел.