Сказ о том, почему 0.(9)=1

Математика — очень логичная наука, даже если иногда кажется, что это не так. Случай с 0.(9)=1 — один из примеров, когда поверить на слово очень тяжело. Но это правда! Здесь между числами действительно стоит равенство, а не «приближённо равно».
Как часто бывает, доказательств тут несколько. Надеемся, что хотя бы одно из них вас убедит. ☺️

Доказательство №1 — через алгоритм перевода
Для начала вспомним, что запись 0.(9) обозначает 0.9999... , то есть бесконечную периодическую дробь.
Мы рассказывали в отдельном посте, как перевести такую бесконечную десятичную дробь в обыкновенную. Воспользуемся этим алгоритмом:
x = 0.(9)
10x = 9.(9)
10x - x = 9.(9) - 0.(9)
9x = 9
x = 1 ⇒ 0.(9)=1

Доказательство №2 — через сумму
1/3 = 0.33333333… = 0.(3)
Тогда можно сказать, что
1 = 3*1/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.(3) + 0.(3) + 0.(3) = 0.(9).

Можно подставить и другие периодические дроби, дающие в сумме 1, например
1/11 = 0.0909090909… = 0.(09) и 10/11 = 0.9090909090… = 0.(90).
Тогда
1 = 11/11 = 1/11 + 10/11 = 0.(09) + 0.(90) = 0.(99) = 0.(9).

Доказательство №3 — через геометрическую прогрессию (самое сложное, но самое научное)
Что вообще такое 0.(9)? Это сумма бесконечного количества конечных десятичных дробей:
0.(9) = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + … .

Слагаемые образуют бесконечную геометрическую прогрессию, почитать про это можно, например, тут. Каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего в 10 раз, то есть её коэффициент q равен 0.1.
По формуле суммы для x первых членов геометрической прогрессии
Sₓ = b₁ / (1-q), где b₁ — первый член прогрессии.
Подставим наши значения:
Sₓ = 0.9 / (1-0.1) = 0.9 / 0.9 = 1.

Аналогично можно доказать, что 9.(9) = 10, 99.(9) = 100, а 999.(9) = 1000.

В заключении скажем, что как 1/3 и 0.(3) — это просто два разных способа обозначить одно и то же число, так и 1 и 0.(9) — просто два разных имени для одной и той же математической сущности. И это нормально, ведь все числа — всего лишь придуманные людьми абстракции.