Периодические дроби

Все мы в школе проходили дроби и помним, что они бывают обыкновенными и десятичными. Каждую дробь можно записать в обоих видах.

Записать десятичную дробь в виде обыкновенной обычно легко: в числитель записываем всё, что после запятой, а в знаменатель — единичку с таким же количеством нулей, сколько цифр было после точки. Например: 0.045=45/1000.

Записать обыкновенную дробь в виде десятичной сложнее. Можно разделить числитель на знаменатель и иногда это закончится хорошо (потому что вообще закончится). Например, 3/8 = 0.375.
А вот с дробью 2/3 фокус не вполне удастся: представить эту дробь в виде конечной десятичной, как выше, не получится.
При делении 2 на 3 калькулятор выдаст 0.6666… или 0.6666666667, в зависимости от модели.
И это тоже десятичная дробь, но немного другая — она относится к бесконечным десятичным дробям. В её дробной части бесконечное количество шестёрок.

Этот бесконечный хвост из цифр хорошо видно при делении уголком. Разделим так 5 на 12, как на первой иллюстрации выше. Видно, что начиная с какого-то момента остаток всегда будет 8, и он будет порождать цифру 6 в ответе.
Есть удобный способ записать бесконечную дробь: повторяющееся число указать в скобках. В этом случае получится 0.41(6). Повторяющееся число называют периодом дроби, а саму дробь — бесконечной периодической дробью.
В периоде может быть и больше одной цифры. Например, 14/11 = 1.272727… = 1.(27).

Итак, если просто делить числитель на знаменатель, случится одно из двух:
- деление закончится — и мы получим конечную десятичную дробь;
- остатки от деления начнут повторяться — тогда получим бесконечную периодическую дробь.
Значит, с помощью деления уголком можно любую обыкновенную дробь записать в виде какой-то десятичной дроби. Приятно, когда что-то работает всегда!

Бесконечные периодические дроби тоже можно переводить в обыкновенные. Тут основная сложность — избавиться от периода. Разберём, как это делать, на примере, см. вторую иллюстрацию выше.

Запишем в виде обыкновенной дроби 0.(38). Для этого обозначим нашу дробь x, а затем умножим её на 100, так как в периоде два знака: 100x = 38.(38).
Мы как бы вытащили один период из скобок, но избавиться от него целиком не удалось. Зато если вычесть из полученного произведения исходную дробь, разностью будет целое число! А дальше дело техники — это наглядно видно на иллюстрации. На самом деле после вычитания ответ не всегда будет целым, но уже хотя бы без периодического «хвоста».

Алгоритм перевода периодических дробей в обыкновенные:
1. Обозначить исходную дробь за x.
2. Умножить её на 10ⁿ, где n — количество знаков в периоде.
3. Вычесть из полученной дроби исходную.
4. Выразить x.

Предлагаем вам поупражняться!
1) Переведите дробь 3/7 в десятичную периодическую.
2) Переведите 2.73(4) в обыкновенную дробь.
Ответы ждём под скрытым текстом.