А сегодня — ещё одна важная формула из теории вероятностей, которая не раз пригодится при решении задач. Кстати, часто нужны обе формулы сразу!
Итак, встречайте: формула полной вероятности (звучит претенциозно, не правда ли?) 😄
Именно она изображена на иллюстрации выше, но пусть вас не пугает её вид. Суть тут довольно простая, разберём на примере.
Пусть у вас есть 3 пары летней обуви, и сегодня вы можете надеть любую из них. Обозначим каждое из трёх событий «надеть пару номер n» как H с соответствующим индексом. У каждого из этих событий — своя вероятность. Например, пусть
P(H₁) = 0.2, P(H₂) = 0.3, P(H₃) = 0.5. События эти несовместны, то есть нельзя надеть две пары сразу, только какую-то одну. А ещё сумма вероятностей равна 1, то есть объединение этих событий даёт всё вероятностное пространство.
У каждой пары — своя вероятность натереть вам ноги! Обозначим событие «натереть ноги» за А. Тогда, например, событие A|H₁ — это вероятность натереть ноги, надев первую пару. Пусть все эти вероятности тоже даны:
P(A|H₁) = 0.1, P(A|H₂) = 0.4, P(A|H₃) = 0.7. Обратите внимание, сумма этих вероятностей уже
Чему же сегодня равна P(A)? Вероятность натереть ноги складывается из вероятностей натирания в каждой из пар, но вероятность надеть каждую из пар — неодинакова, это тоже надо учитывать.
Поэтому P(A) = P(A|H₁)*P(H₁) + P(A|H₂)*P(H₂) + P(A|H₃)*P(H₃).
Мы как бы собрали полную вероятность из отдельных кусочков, учитывая вес (то бишь вероятность) каждого из этих кусочков. Давайте вычислим сумму этих маленьких произведений:
P(A) = 0.1*0.2 + 0.4*0.3 + 0.7*0.5 =
= 0.02 + 0.12 + 0.35 = 0.49.
Вероятность получилась довольно высокая! Основной вклад в этот ответ дала третья пара: она часто натирает, но при этом она явно вам нравится, раз вы выбираете её в 50% случаев. Что ж, любовь зла, но мы такое не одобряем. 😅