🔸Иррациональность числа📝
Первое видео — наглядная демонстрация иррациональности числа 𝜋. Но она показывает нам нечто даже более интересное.
«Узор» на картинке получается, если отслеживать сумму двух вращающихся векторов, один из которых вращается в 𝜋 раз быстрее другого. 𝜋 иррационально, а значит, линия никогда не вернётся точно в исходное положение, и узор не повторится.
Если бы он повторился, это означало бы, что в тот момент оба вектора совершили целое число оборотов, а это возможно только тогда, когда отношение их скоростей вращения — рациональное число.
Но насколько близко узор всё же подходит к повторению! В двух местах, где масштаб увеличивается, видно, что линия совсем немного не дотягивает до соединения с исходной точкой.
Это показывает, что 𝜋 можно очень точно приближать дробями с небольшими целыми числами.
▶️Если добавить в анимацию счётчики вращений и посмотреть, что происходит в тот момент, когда узор почти повторяется, можно увидеть, что первый «почти повтор» связан с парой 22 и 7. Дробь 22/7 — довольно хорошее приближение числа 𝜋 (вспоминаем мем). Фактически ошибка составляет всего около 0,004 %, что поразительно точно для дроби с таким маленьким знаменателем.
▶️Следующий момент оказывается ещё более неожиданно точным. Дробь 355/113 приближает 𝜋 с точностью до шести знаков после запятой — ошибка всего около 0,000008 %. Это настолько близко к 𝜋, что приходится увеличить изображение примерно в 750 раз, чтобы увидеть разницу.
Разумеется, можно взять любое другое число и получить другие узоры. Для контраста советуем взглянуть на узор иррационального числа φ — золотого сечения. Оно плохо приближается дробями с относительно небольшими целыми числами.
🔸Нормальность числа 📝
Число 𝜋 содержит вашу дату рождения, номер телефона и, скорее всего, даже геном в цифровом виде. Включите второе видео и убедитесь в этом сами!
Математики предполагают, что 𝜋 — нормальное число, то есть такое число, в записи которого в заданной n-ричной системе счисления произвольная группа из k последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной n⁻ᵏ для каждого k = 1, 2, …
Проще говоря, это число, в котором любая конечная последовательность цифр встречается в десятичной записи с ожидаемой частотой. Как написал знаменитый популяризатор математики Стивен Строгац в своей статье «Why Pi matters»: 𝜋 помещает бесконечность в пределы досягаемости.
Однако ни для одного из «естественных» чисел — например, 𝜋, e, ln(2), √2 — нормальность даже в одной системе счисления пока не доказана.
Повторяется история с трансцендентными числами: сначала неконструктивно было доказано, что они существуют и что их много, потом такие числа удалось построить, и лишь затем математики научились доказывать трансцендентность таких известных констант, как e и 𝜋.
*️⃣Напомним:
Трансцендентные числа — это числа, которые невозможно выразить как решение алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Классические примеры: 𝜋 и e. Так, 𝜋 не может быть решением уравнения вида 2x⁴ − 3x² − 7 = 0.
Доказательство трансцендентности — задача непростая. В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа e, а в 1882 году Фердинанд фон Линдеман — числа 𝜋.
А в 1874 году Георг Кантор поразил математический мир, показав, что «почти все» вещественные числа трансцендентны.
Так и с нормальными числами: известно, что почти все числа нормальные, но исследование конкретного числа — очень трудная задача.
Существует гипотеза, что все иррациональные алгебраические числа нормальны, но как к ней подступиться, математики пока не знают. Есть идеи? 👀
#это_база