Можно ли иметь несколько ВНЖ Евросоюза?

Короткий ответ: да.

Законодательно нет никаких запретов иметь несколько ВНЖ разных стран ЕС.

Допустим, у вас есть ВНЖ Греции. Этот ВНЖ дает право жить в Греции и находиться в других странах ЕС до 90 дней в 180-дневный период.
Также у вас есть ВНЖ Испании. Этот ВНЖ дает право жить в Испании и находиться в других странах ЕС также до 90 дней в полгода.

Другое дело, что поскольку границ внутри Шенгена нет, то никто не отследит в какой стране сколько дней вы проводите.

Более популярный пример: резидент Кипра (входит в ЕС, но не Шенген, поэтому не позволяет путешествовать в Шенгене без визы) имеет также ВНЖ Греции. По сути у такого человека два ВНЖ Евросоюза.

Можно ли жить по ВНЖ одной европейской страны в другой европейской стране?

Тут опять же, никто это не отследит. Но могут быть сложности при использовании государственной социалки (школы, сады, медицина).