#матлог #учёба #спецкурс

С.О.Сперанский прочитает спецкурс НОЦ МИАН «Универсальная алгебра и алгебраическая логика».

Первая лекция: 10 сентября

Место проведения: МИАН, ком. 303

Время проведения: вторник 16:20-17:50

Страница спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2470

Цель курса — познакомить слушателей с универсальной алгеброй и её применениями в изучении семейств логических систем. Содержание курса можно условно разделить на три части:
I) элементы универсальной алгебры;
II) булевы алгебры и их представления;
III) алгебраическая семантика для неклассических логик.

I. Под (абстрактной) алгеброй понимают произвольную структуру в сигнатуре, где единственным предикатным символом является равенство. Многообразиями — от англ. variety; не следует путать с manifold — называют классы алгебр, аксиоматизируемые посредством тождеств, т.е. равенств между термами. Например, можно говорить о многообразии всех групп или колец. В первом приближении универсальная алгебра — наука о многообразиях. Мы познакомимся с основными понятиями и методами универсальной алгебры, применяемыми в логике. В частности, с помощью так называемых свободных алгебр (которые также представляют интерес сами по себе) мы докажем знаменитую теорему Бирхоффа: класс алгебр является многообразием, если и только если он замкнут относительно гомоморфных образов, подструктур и прямых произведений.

II. Под решёткой понимают частично упорядоченное множество, в котором у всякого непустого конечного подмножества есть супремум и инфимум. На самом деле, решётки можно воспринимать как алгебры. Более того, они занимают центральное место в универсальной алгебре. Булевы алгебры — особый класс решёток, играющий важную роль в математике. Мы докажем основные результаты, связанные с булевыми алгебрами. В частности, среди них будут различные версии теоремы о представлении булевых алгебр, одна из которых устанавливает тесную связь между булевыми алгебрами и особого рода топологическими пространствами. Эту связь называют дуальностью Стоуна.

III. Известно, что реляционной семантики, также известной как семантика возможных миров или семантика Крипке, нередко не хватает для полной характеризации логических систем: для таких систем нельзя получить теоремы о полноте относительно реляционной семантики. С другой стороны, практически любая разумная система сильно полна относительно подходящей алгебраической семантики. Несмотря на то что этот тип семантики является существенно более абстрактным, он оказывается весьма удобен с математической точки зрения, поскольку открывает путь к широкому применению методов универсальной алгебры. Мы обсудим алгебраические семантики для (пропозициональных) модальной логики K и интуиционистской логики Int. Эти семантики индуцируют тесные связи между логическими и алгебраическими свойствами. Например, оказывается, что расширение Int обладает интерполяционным свойством Крейга тогда и только тогда, когда соответствующее ему многообразие алгебр является амальгамируемым. Такого рода связи позволяют получать многочисленные яркие результаты.

Спецкурсы МИАН можно сдавать студентам мехмата. Адрес: ул.Губкина, д.8. Для прохода необходимо иметь при себе документ, подтверждающий принадлежность к научному или образовательному учреждению (например, студенческий билет).

Для участия в курсах нужно записаться на соответствующих страницах на портале Math-Net. Также на страницах курсов приведены их краткие аннотации, а впоследствии будут публиковаться видеозаписи лекций.

🔗 Курс С. О. Сперанского "Универсальная алгебра и алгебраическая логика"


➰ ВК