#матлог #учёба #спецкурс

Д.ф.-м.н. И.Г. Лысенок прочитает спецкурс НОЦ МИАН "Введение в геометрическую теорию групп".

Первая лекция: 10 февраля

Место проведения: МИАН, ком. 430

Время проведения: понедельник 18:00-19:30

Страница спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2531

Аннотация.
Цель спецкурса — ознакомление слушателей с ключевыми понятиями и методами геометрической теории групп. В частности, будет дано представление о теории групп, действующих на деревьях (теории Басса-Серра), квазиизометрических отображениях пространств, гиперболических метрических пространствах и гиперболических группах в смысле Громова. От участников спецкурса не требуется специальной подготовки, достаточно лишь знания алгебры в объёме университетского курса, а также начальных понятий топологии. Приглашаются студенты любых курсов и аспиранты.

Программа

- Свободные группы.
Определение свободной группы. Лемма о ромбе. Нормальная форма элементов. Универсальное свойство свободных групп.
- Задания групп с помощью порождающих и соотношений.
Выводы с помощью определяющих соотношений групп. Алгебраическая интерпретация заданий групп с помощью фактор-групп свободных групп. Преобразования Тице. Диаграммы ван Кампена. Лемма ван Кампена.
- Введение в алгоритмические проблемы.
Проблемы равенства и сопряженности. Проблема сопряженности в свободных группах. Проблема изоморфизма. Пример класса групп с разрешимой проблемой изоморфизма: конечно порожденные абелевы группы. Проблема вхождения в подгруппу. Неразрешимость большинства алгоритмических проблем для групп (без доказательства).
- Графы в геометрической теории групп.
Графы как комбинаторные 1-комплексы. Деревья. Фундаментальная группа графа. Накрытия графов. Действия групп: основные понятия. Графы Кэли и Шрайера. Теорема Шрайера о подгруппах свободной группы. Проблема вхождения в подгруппу для свободной группы.
- Асимптотические характеристики групп.
Словарная метрика на группе. Функция роста. Инвариантность функции роста относительно выбора порождающих групп. Функция Дэна. Инвариантность функции Дэна относительно выбора задания группы в терминах порождающих и соотношений. Примеры верхних оценок функции Дэна.
- Свободные конструкции.
Свободные произведения групп. Нормальная форма элементов свободного произведения. Универсальное свойство свободного произведения. Свободные произведения с объединенной подгруппой. Модифицированный вариант леммы о ромбе. Нормальная форма элементов свободного произведения с объединенной подгруппой. Универсальное свойство свободного произведения с объединенной подгруппой. HNN-расширения групп. Нормальная форма элементов HNN-расширения. Лемма Бриттона.
- Введение в теорию групп, действующих на деревьях.
Графы групп. Построение фундаментальной группы графа групп. Построение дерева действия группы для свободных конструкций. Построение дерева действия групп в общем случае.
- Введение в грубую геометрию.
Квазиизометричечкие вложения. Квазиизометрии. Критерии квазиизометричности. Теорема Милнора-Шварца. Квазиизометрические инварианты групп.
- Гиперболические метрические пространства.
Геодезические пространства. Метрические деревья. Эквивалентные определения гиперболических метрических пространств.
- Гиперболические группы.
Теорема Громова об эквивалетности гиперболичности группы линейности ее функции Дэна. Примеры гиперболических групп: дискретные подгруппы движений гиперболического пространства; группы с условием малого сокращения.

🔗 Курс И. Г. Лысёнка "Введение в геометрическую теорию групп"


➰ ВК