Интуитивно не так сложно понять это и прийти к этой формуле.

Если посмотреть на числа n:

1≤n<10 => 1 цифра
10≤n<100 => 2 цифры
100≤n<1000 => 3 цифры
10^(q-1)≤n<10^(q) => q цифр.

И тут хотелось бы как-то перейти от степени 10 к показателю 10, тк этот показатель и есть q. Вспоминаем, что log(n,n)=1. Отсюда мысль о том, что тут нужен логарифм. А мысль, почему нужна функция антье, ввиду того, что нам нужны целые части получаемых чисел от log(10,n). Так мы и приходим к тому, что n может быть аргументом функции функции [log(10,n)] и если рассмотреть при тех же n:

1≤n<10 => [log(10,n)]=0
10≤n<100 => [log(10,n)]=1
100≤n<1000 => [log(10,n)]=2
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]=q-1

остается добавить 1 и получится искомое количество цифр

1≤n<10 => [log(10,n)]+1=1
10≤n<100 => [log(10,n)]+1=2
100≤n<1000 => [log(10,n)]+1=3
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]+1=q.